[論文レビュー] Minimum periods of homeomorphisms of orientable surfaces

Moira Chas|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、g ≥ 2 かつ境界成分が b 個あるコンパクトで連結かつ可換な曲面における、向きを保つおよび向きを反転するホメオモルフィズムの最小可能な周期を決定する。サーフェスのトーラス分類と固定点理論を用いて、最大の最小周期は 4g + (−1)^g·4 であり、これは b ≥ 6g + 2 + (−1)^g·8 のとき等号が成立する。この結果は、サーフェスホメオモルフィズムの力学的複雑さに対する鋭い上限を与える。

ABSTRACT

One of the main problems of the theory of dynamical systems is the determination of the existence of periodic orbits of a self-map and more generally, the structure of the set of periods. Define the minimum period of a class os self-maps of a fixed set as the minimum of the positive integers such that each map in the class has a periodic point whose period is at most this number. The problem of the determination of the minimum period of the classes of homeomorphisms of closed surfaces was completely solved, in successive steps, from 1910 to 1996. The aim of our work is, for each compact, connected, orientable surface, determine the minimum period of its class of homeomorphisms. If the genus of the considered surface is zero or on, then the problem can be solved by simple techniques. For the case of genus at least two, we have found two upper bounds for the minimum periods, which can be expressed as a linear function of the genus and the number of boundary components of the surface. We give certain sufficient conditions under which these upper bounds are achieved. In particular, we have proved that the minimum period becomes constant for each genus, provided that the number of boundary components is large enough. We have also studied the minimum periods of the classes of finite-order maps. This thesis has three branches which are interconnected. One has to do with the application of the fixed-point theory. One of the upper bounds of the minimum periods is a consequence of this theory. To obtain the other upper bound, we have also applied the Thurston-Nielsen classification of homeomorphisms of surfaces and some of its consequences. This is the second branch. Finally, the third branch has to do with the theory of planar discontinuous group which provide us with the necessary tools for the construction of examples which prove the existence of lower bounds of the minimum periods.

研究の動機と目的

• コンパクトで連結かつ可換な曲面（genus g ≥ 2、境界成分 b 個）におけるホメオモルフィズムの最小可能な周期を特定すること。
• サーフェス分類理論（Thurston-Nielsen理論）を用いてホメオモルフィズムを分類し、固定点不変量を用いてその力学的挙動を分析すること。
• すべての向きを保つおよび向きを反転するホメオモルフィズムの最小周期について、鋭い上界と下界を確立すること。
• 最大の最小周期が達成される条件を特定し、特に境界成分の数との関係を明らかにすること。
• 低 genus のサーフェスにおける有限位数写像、pseud-Anosov写像、可約写像の最小力学的周期を完全に分類すること。

提案手法

• サーフェスホメオモルフィズムを有限位数、pseud-Anosov、可約型に分解するために、Thurston-Nielsen分類定理を適用する。
• Lefschetz 固定点定理と指数論を用いて、写像の反復写像の Lefschetz 数を計算・分析する。
• pseud-Anosov 写像の標準形を用いて、不変の foliation、特異点、および拡張定数を分析する。
• 基本群およびホモロジーへの誘導写像を用いて、境界の挙動と反復写像における成分の力学的挙動を分析する。
• オイラー特性および符号数からの代数的制約を用いて、境界成分と genus における作用を研究することで、最小周期の上限を導出する。
• 群の作用による曲面への作用を用いて、有限位数写像の分類とその周期を組合せ論的および代数的技法で行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 g ≥ 2 の曲面において、向きを保つホメオモルフィズムの最小周期として得られる最大値は何か？
• RQ2 境界成分の数 b は、達成可能な最大最小周期にどのように影響するか？
• RQ3 最小周期の上界 4g + (−1)^g·4 がどのような条件下で達成されるか？
• RQ4 有限位数、pseud-Anosov、可約型といった力学的タイプは、全体の最小周期スペクトルにどのように寄与するか？
• RQ5 向きを反転するホメオモルフィズムの最小周期に対する鋭い上限は何か？また、向きを保つ場合と比較するとどうなるか？

主な発見

• g ≥ 2 の曲面における向きを保つホメオモルフィズムの最大最小周期は 4g + (−1)^g·4 である。
• 向きを反転するホメオモルフィズムに対しても、同じ上限 4g + (−1)^g·4 が成り立ち、b ≥ 6g + 2 + (−1)^g·8 のとき等号が成立する。
• g が偶数で b ≥ 6g + 10 のとき、最小周期は少なくとも 4g + 4 であり、g が奇数で b ≥ 6g − 6 のとき、少なくとも 4g − 4 である。
• この上限は鋭く、Lefschetz 数が負である（非自明な固定点クラスが存在する）場合に有限位数写像で達成される。
• pseud-Anosov および可約写像では、成分上の力学的挙動と境界成分への作用を分析することで、最小周期が制限される。
• 写像の標準形により、力学的挙動を正確に制御でき、genus および境界成分に対する代数的・位相的制約を用いて、鋭い上限が導出可能である。