[論文レビュー] Minimum ranks of sign patterns via sign vectors and duality

Marina Arav, Frank J. Hall+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2013

graph theory and CDMA systems参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、符号パターン行列の最小ランクを分析するために、符号ベクトルと双対性を用いた新しいアプローチを提案する。任意の $m \times n$ 符号パターンに対して最小ランクが $n-2$ である場合、最小ランクの有理的実現は常に可能であることを証明している。さらに、$n \geq 9$ の場合、最小ランクが $n-3$ である $n \times m$ 符号パターンのうち、有理的実現が不可能なものが存在することを示している。また、最小ランクが $n-1$ の符号パターンの特徴づけを行い、$\mathbb{R}^n$ の2次元部分空間における符号ベクトルの最大数が $4n+1$ であることも示している。

ABSTRACT

A {\it sign pattern matrix} is a matrix whose entries are from the set $\{+,-, 0\}$. The minimum rank of a sign pattern matrix $A$ is the minimum of the ranks of the real matrices whose entries have signs equal to the corresponding entries of $A$. It is shown in this paper that for any $m imes n$ sign pattern $A$ with minimum rank $n-2$, rational realization of the minimum rank is possible. This is done using a new approach involving sign vectors and duality. It is shown that for each integer $n\geq 9$, there exists a nonnegative integer $m$ such that there exists an $n imes m$ sign pattern matrix with minimum rank $n-3$ for which rational realization is not possible. A characterization of $m imes n$ sign patterns $A$ with minimum rank $n-1$ is given (which solves an open problem in Brualdi et al. \cite{Bru10}), along with a more general description of sign patterns with minimum rank $r$, in terms of sign vectors of certain subspaces. A number of results on the maximum and minimum numbers of sign vectors of $k$-dimensional subspaces of $\mathbb R^n$ are obtained. In particular, it is shown that the maximum number of sign vectors of $2$-dimensional subspaces of $\mathbb R^n$ is $4n+1$. Several related open problems are stated along the way.

研究の動機と目的

• 符号パターン行列の最小ランクを特徴づける長年の未解決問題に取り組む。
• 符号パターン行列の最小ランクが有理的実現可能となる条件を確立する。
• 部分空間の符号ベクトルおよびその極値的基数の理解を拡張する。
• 符号パターン行列における最小ランク問題を分析するための新しい双対性に基づく枠組みを提供する。
• 最小ランクが $n-1$ である $m \times n$ 符号パターンを特徴づける未解決問題を解く。
• $\mathbb{R}^n$ の2次元部分空間における符号ベクトルの最大数を特定する。
• 最小ランクが $n-3$ であるが、有理的実現が不可能な符号パターンの存在を調査する。

提案手法

• 部分空間の符号ベクトルを用いて、符号パターン行列の最小ランクを特徴づける。
• 部分空間とその直交補空間の間の双対性原理を適用し、符号ベクトル集合を分析する。
• 分析を簡略化し、最小ランクの性質を保持するため、圧縮された符号パターンを用いる。
• 組合せ幾何学および射影幾何学の結果を応用して、極値的符号ベクトル数の上限を導く。
• 符号ベクトル基数のタイトな上限を示すために、明示的な符号パターン行列を構成する。
• 簡約化された行階段形を用いて、部分空間内の符号ベクトルの独立性および構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号パターン行列の最小ランクが有理的実現可能となる条件は何か？
• RQ2 最小ランクが $n-2$ である $m \times n$ 符号パターン行列の最小ランクは常に有理的実現可能か？
• RQ3 $n \geq 9$ の場合、最小ランクが $n-3$ であるが、有理的実現が不可能な $n \times m$ 符号パターンが存在するか？
• RQ4 $\mathbb{R}^n$ の2次元部分空間によって実現可能な異なる符号ベクトルの最大数は何か？
• RQ5 符号ベクトルと双対性をどのように用いて、最小ランクが $n-1$ の符号パターンを特徴づけられるか？
• RQ6 $k$ 次元部分空間の符号ベクトル数の極値は何か？

主な発見

• 任意の $m \times n$ 符号パターン行列について、最小ランクが $n-2$ である場合、最小ランクの有理的実現は常に可能である。
• $n \geq 9$ の各 $n$ に対して、最小ランクが $n-3$ であるが、有理的実現が不可能な $n \times m$ 符号パターン行列が存在する。
• $\mathbb{R}^n$ の2次元部分空間における符号ベクトルの最大数は $4n+1$ である。
• $\mathbb{R}^n$ の $k$ 次元部分空間における符号ベクトルの最小数は $3^k$ であり、これは部分空間が標準基底ベクトルによって張られる場合に達成される。
• $m \times n$ 符号パターン行列の最小ランクが $n-1$ である場合の特徴づけが提示され、Brualdiら[6]の未解決問題が解決された。
• $\mathbb{R}^n$ の $(n-1)$ 次元部分空間における符号ベクトルの最大数は $3^n - 2(2^n - 1)$ である。