[論文レビュー] Minkowski measurability of infinite conformal graph directed systems and application to Apollonian packings

Marc Keßeböhmer, Sabrina Kombrink|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、無限のコンフォーマル・グラフ指向システム（cGDS）におけるミンコフスキー内容の存在条件を確立し、アポロニウスのガスケットに対してミンコフスキー可測性を証明するとともに、そのミンコフスキー内容の明示的公式を導出する。また、コンツォルヴィッチとオーアが研究した円数関数と、フラクタルオイラー特性および曲率測度を結びつけることで、アポロニウス定数の新たな幾何的解釈と、0.055の最初の下界をもたらす。

ABSTRACT

We give conditions for the existence of the Minkowski content of limit sets stemming from infinite conformal graph directed systems. As an application we obtain Minkowski measurability of Apollonian gaskets, provide explicit formulae of the Minkowski content, and prove the analytic dependence on the initial circles. Further, we are able to link the fractal Euler characteristic, as well as the Minkowski content, of Apollonian gaskets with the asymptotic behaviour of the circle counting function studied by Kontorovich and Oh. These results lead to a new interpretation and an alternative formula for the Apollonian constant. We estimate a first lower bound for the Apollonian constant, namely $0{.}055$, partially answering an open problem by Oh of 2013. In the higher dimensional setting of collections of disjoint balls, generated e.\,g.\ by Kleinian groups of Schottky type, we prove that all fractal curvature measures exist and are constant multiples of each other. Further number theoretical applications connected to the Gauss map and to the Riemann $ζ$-function illustrate our results.

研究の動機と目的

• 無限のコンフォーマル・グラフ指向システムの極限集合の幾何的構造を、フラクタル次元を超えて特徴づけること。
• 従来のフラクタル体積枠組みでは分類されていなかった、アポロニウスのガスケットのミンコフスキー内容の存在を確立し、その計算を行うこと。
• コンツォルヴィッチとオーアが研究した漸近的円数関数と、フラクタルオイラー特性および曲率測度を結びつけること。
• アポロニウス定数の新たな幾何的解釈と代替公式を提供し、最初の下界推定を可能にすること。
• シュットキー型クライン群によって生成される高次元の互いに交わらない球体の集合へと結果を拡張し、フラクタル曲率測度が存在し、比例関係にあることを証明すること。

提案手法

• 著者らが[KK17]で開発した、無限のアルファベット上での有限型符号の再生定理を、中心的な解析的道具として用いる。
• cGDS構成における導関数の歪みを制御するため、モビウス変換による有界歪み推定を適用する。
• 接続行列と遷移規則を用いて、無限cGDSフレームワークにおける許容可能な写像列を定義する。
• 関連する移動作用素のスペクトル的性質と非格子条件を用いて、ミンコフスキー内容を導出する。
• ハウスドルフ測度と次元 $ D $ を用いて、円数関数 $ R(\varepsilon) $ の漸近的挙動とフラクタル曲率測度を結びつける。
• リャプノフ指数と有界歪み定数 $ \rho_0 $ を用いてアポロニウス定数 $ c_A $ を推定し、下界 $ c_A \geq 0.055 $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限のコンフォーマル・グラフ指向システムの極限集合に対して、ミンコフスキー内容が存在する条件は何か？
• RQ2 アポロニウスのガスケットにおいて、フラクタルオイラー特性、ミンコフスキー内容、フラクタル曲率測度はどのように関係しているか？
• RQ3 円数関数 $ R(\theta) $ の漸近的挙動は、フラクタル曲率測度を用いて幾何的に再解釈可能か？
• RQ4 アポロニウス定数 $ c_A $ とパッケージの幾何的不変量（例えばミンコフスキー内容やハウスドルフ測度）との関係は何か？
• RQ5 シュットキー型クライン群によって生成される高次元の互いに交わらない球体の集合において、フラクタル曲率測度は存在し、互いに比例するか？

主な発見

• 非格子無限コンフォーマル・グラフ指向システムの極限集合に対して、ミンコフスキー内容が存在し、明示的公式が与えられる。
• アポロニウスのガスケットにおいて、ミンコフスキー内容は明示的に計算可能であり、初期の円に解析的に依存する。
• フラクタルオイラー特性、ミンコフスキー内容、フラクタル曲率測度は、それぞれの定数倍同士であり、その定数は特定のパッケージに依存しない。
• 高次元（$ d \geq 4 $）において、互いに交わらない球体の集合（例えばシュットキー型クライン群から得られるもの）に対するフラクタル曲率測度が存在し、互いに比例している。
• アポロニウス定数 $ c_A $ に対して、最初の下界 $ 0.055 $ が、有界歪み定数 $ \rho_0 $ とリャプノフ指数から得られる。
• 円数関数 $ R(\varepsilon) $ の主要漸近的項が幾何的に再解釈され、ミンコフスキー内容とハウスドルフ測度を用いた $ c_A $ の新たな公式が得られる。