[論文レビュー] Minkowski type problems for convex hypersurfaces in hyperbolic space

Claus Gerhardt|ArXiv.org|Feb 27, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、双曲空間における厳密に凸な超曲面のミンコフスキー型問題を、曲率関数 $ F $ の逆関数がクラス $ (K^*) $ に属するという条件下で解く。曲率指定問題 $ F|_M = f(\tilde{x}) $ の解の存在を、曲率流れとガウス写像による双対性を用いて確立。バリア条件と滑らかさの仮定の下で、クラス $ C^{m+2,\alpha} $ の厳密に凸な超曲面 $ M \subset \mathbb{H}^{n+1} $ が存在し、デ・シータ空間における双対問題も解けることを証明。

ABSTRACT

We consider the problem $F=f(ν)$ for strictly convex, closed hypersurfaces in hyperbolic space and solve it for curvature functions $F$ the inverses of which are of class $(K^*)$.

研究の動機と目的

• 双曲空間 $ \mathbb{H}^{n+1} $ 内の厳密に凸な超曲面に対して、曲率関数 $ F $ の逆関数がクラス $ (K^*) $ に属するミンコフスキー型問題 $ F|_M = f(\tilde{x}) $ を解くこと。
• ガウス写像と曲率流れを用いて、双曲空間 $ \mathbb{H}^{n+1} $ 内の超曲面とデ・シータ空間 $ N $ 内の時空的超曲面との間の双対性を拡張すること。
• バリア条件と $ F $, $ f $ の滑らかさの仮定の下で、対称的かつ同次的な曲率関数に関する既存の結果を一般化して、解の存在を確立すること。
• 曲率流れが定常解に収束することを証明し、これにより元の曲率指定問題の解が得られることを示すこと。

提案手法

• ガウス写像を用いて、厳密に凸な超曲面 $ M \subset \mathbb{H}^{n+1} $ と時空的超曲面 $ M^* \subset N $ の間の双対性を定義し、$ M^{**} = M $ が成り立つこと。
• 双曲空間 $ \mathbb{H}^{n+1} $ 内で曲率流れを適用し、スカラー放物型偏微分方程式 $ \partial_t u = -v(\varPhi - \tilde{f}) $ として定式化。初期データは $ C^{4,\alpha}(S^n) $ に属する。
• 曲率および第二基本形式に関する事前推定を用い、最大原理を用いて $ w = \log h_n^n + \lambda \chi $ における一様強楕円性と境界を示す。
• 曲率関数 $ \varPhi(F) $ の凹性と一様強楕円性を活用し、$ (\tilde{F}, f^{-1}) $ におけるバリア条件を用いて流れを制御し、収束を保証。
• 文献[10, 第5.5章]の正則性理論を適用し、$ C^{4,\alpha} $-推定を導出し、流れがすべての時間 $ T^* = \infty $ に対して存在することを保証。
• 関数 $ u(t,x) $ が極限 $ \tilde{u}(x) \in C^{4,\alpha}(S^n) $ に収束することを確立し、$ \varPhi - \tilde{f} \to 0 $ が成り立つことを示し、定常解の存在を証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率関数 $ F $ の逆関数がクラス $ (K^*) $ に属する場合、双曲空間 $ \mathbb{H}^{n+1} $ 内の厳密に凸な超曲面に対して、ミンコフスキー型問題 $ F|_M = f(\tilde{x}) $ が解をもつか。
• RQ2 双曲空間 $ \mathbb{H}^{n+1} $ と $ N $ 内の超曲面との間の双対性を、ガウス写像と曲率流れを用いて、曲率指定問題を $ N $ 上の双対問題に変換できるか。
• RQ3 曲率流れ $ \partial_t u = -v(\varPhi - \tilde{f}) $ が、双曲空間 $ \mathbb{H}^{n+1} $ 内で定常解に収束する条件は何か。
• RQ4 滑らかさとバリア条件の下で、曲率問題の解がクラス $ C^{m+2,\alpha} $ に属することが保証されるか。

主な発見

• バリア条件が成り立ち、$ \tilde{F} \in (K^*) $ かつ $ f \in C^{m,\alpha}(N) $ の下で、ミンコフスキー型問題 $ F|_M = f(\tilde{x}) $ は、クラス $ C^{m+2,\alpha} $ の厳密に凸な解 $ M \subset \mathbb{H}^{n+1} $ をもつ。
• デ・シータ空間内での双対問題 $ \tilde{F}|_{M^*} = f^{-1}(\tilde{x}) $ は、元の問題と同値であり、$ M^{**} = M $ が成り立つ。
• 曲率流れ $ \partial_t u = -v(\varPhi - \tilde{f}) $ はすべての時間 $ t \in [0, \infty) $ に対して存在し、一様な $ C^{4,\alpha} $-推定が成り立つ。
• 流れは極限 $ \tilde{u}(x) \in C^{4,\alpha}(S^n) $ に収束し、点ごとに $ \varPhi - \tilde{f} \to 0 $ となる。これは極限が定常曲率問題を満たすことを示唆する。
• 解 $ M $ は一様に厳密に凸であり、主曲率はゼロから離れており、一様に楕円的である曲率作用素を持つ。
• この結果は、$ H_k $, $ |A|^2 $, および同次的1次対称曲率関数に関する以前の存在定理を、より広いクラス $ (K^*) $ に一般化している。