[論文レビュー] Minmax Hierarchies and Minimal Surfaces in Manifolds

Tristan Rivière|arXiv (Cornell University)|May 27, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、バナッハ多様体におけるモーレス指数が増加する臨界点を構成するためのミニマックス階層枠組みを導入し、滑らかさに基づくミニマックス法を用いて多様体内の最小曲面に応用する。$S^3$ 内に厳密に増加する面積の最小曲面の存在を確立し、クラッフォードトーラスのミニマックス的特徴付けを提供するとともに、所定の面積閾値未満でモーレス指数の下半連続性を証明する。

ABSTRACT

We introduce a general scheme that permits to generate successive min-max problems for producing critical points of higher and higher indices to Palais-Smale Functionals in Banach manifolds equipped with Finsler structures. We call the resulting tree of minmax problems a minmax hierarchy. Using the viscosity approach to the minmax theory of minimal surfaces introduced by the author in a series of recent works, we explain how this scheme can be deformed for producing smooth minimal surfaces of strictly increasing area in arbitrary codimension. We implement this scheme to the case of the $3-$dimensional sphere. In particular we are giving a min-max characterization of the Clifford Torus and conjecture what are the next minimal surfaces to come in the $S^3$ hierarchy. Among other results we prove here the lower semi continuity of the Morse Index in the viscosity method below an area level.

研究の動機と目的

• バナッハ多様体における非線形幾何的変分問題へ、線形固有値問題からのミニマックス階層枠組みの拡張を図ること。
• 閉じた曲面の面積汎関数に対して、モーレス指数が増加する臨界点を体系的に生成するための方法を開発すること。
• $S^3$ 内の最小曲面の構成にミニマックス階層を応用し、特に codimension 1 の場合に焦点を当てる。
• 所定の面積レベル未満で、滑らかさに基づくミニマックス法におけるモーレス指数の下半連続性を証明すること。
• $S^3$ 上の階層において、クラッフォードトーラスが第二の最小曲面として特徴付けられることを示すこと。

提案手法

• 多面体的チェーンから $W^{3,2}$-埋め込みの空間へのリプシッツ写像の空間を用いて、再帰的なミニマックス階層を構築する。
• 以前の臨界集合に非自明な連結性を保証する位相的制約を課した適切なスイープアウト $\mathrm{Sweep}_{N_k}$ を定義する。
• 滑らかさに基づく方法を最小曲面のミニマックス理論に実装し、面積が厳密に増加する滑らかな最小曲面の構成を可能にする。
• $W^{3,2}$-埋め込みの閉じた曲面における面積汎関数をエネルギー汎関数とし、マークされた微分同相写像による商をとることで、配置空間 $\mathfrak{M}(M^m)$ を形成する。
• パライス・スモール条件と変形理論を適用して、面積汎関数の臨界点への収束を保証する。
• 最小曲面の安定性およびモーレス指数の分析のため、面積汎関数の第二変動公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形幾何的汎関数（例：面積）に対して、バナッハ多様体内に体系的なミニマックス階層を構築できるか？
• RQ2 任意の余次元において、面積およびモーレス指数が厳密に増加する最小曲面をどのように生成できるか？
• RQ3 この階層内において、$S^3$ 内のクラッフォードトーラスのミニマックス的特徴付けは何か？
• RQ4 所定の面積閾値未満で、滑らかさに基づくミニマックス法におけるモーレス指数は下半連続的か？
• RQ5 $S^3$ 内の最小曲面の階層において、クラッフォードトーラス以降に予想される次の最小曲面は何か？

主な発見

• ミニマックス階層の構成により、$W_k(M^m) > W_{k-1}(M^m)$ となる厳密に増加する幅が得られ、指数が増加する臨界点の生成が保証される。
• $S^3$ 内のクラッフォードトーラスは、ミニマックス公式 $\lambda_2 = \inf_{u \in \mathrm{Sweep}_{N_2}} \max_{y \in Y_2} \mathrm{Area}(u_y)$ を用いて、階層内での第二の臨界曲面として特徴付けられる。
• 本稿では、所定の面積レベル未満で滑らかさに基づくミニマックス法におけるモーレス指数の下半連続性を証明し、重要な安定性結果を示す。
• 本手法により、$S^3$ 内で面積および指数が増加する滑らかな最小曲面が効果的に生成され、階層はクラッフォードトーラス以降の候補を示唆する。
• 面積汎関数の第二変動公式が導出され、曲率および第二基本形式の項を用いた安定性および指数の分析が可能になる。
• 滑らかさの方法により、線形構造や内積に依存せずに最小曲面を構成でき、古典的な固有値法を非線形幾何的設定に一般化する。