[論文レビュー] Minoration du rang des courbes elliptiques sur les corps de classes de Hilbert

Nicolas Templier|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 58被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ のヒルベルト類体 $H_D$ 上の楕円曲線 $E$ のモーデル・ヴェイユ群 $E(H_D)$ のランクに対する、条件なしの下界を確立する。$D<0$ が十分に大きな基本的判別式であり、$E$ が判別式 $D$ のヒーガー点をもつとき、これらの点が生成する部分群のランクは、ある絶対定数 $\delta>0$ に対して $|D|^\delta$ 以上に増加することが示される。この結果は $L$-関数の非零性とグロス・ツァイジャーの公式に基づき、バーチとスウィンナートン＝ダイヤー予想を支持する。

ABSTRACT

Soit $E/\BmQ$ une courbe elliptique. Soit $D&lt;0$ un discriminant fondamental suffisamment grand. Si $E(\bar{\BmQ})$ contient des points de Heegner de discriminant $D$, ces points engendrent un sous-groupe dont le rang est supérieur à $\pabs{D}^{0.0009}$. Ce résultat est en accord avec la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. --- Let $E/\BmQ$ be an elliptic curve. Let $D&lt;0$ be a sufficiently large fundamental discriminant. If $E(\bar{\BmQ})$ contains Heegner points of discriminant $D$, these points generate a subgroup of rank greater than $\pabs{D}^{0.0009}$. This result is in agreement with the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer.

研究の動機と目的

• 虚二次体のヒルベルト類体上の楕円曲線のモーデル・ヴェイユ群 $E(H_D)$ のランクに対する下界を確立すること。
• ヒーガー点が $H_D$ 上で線形独立であるかを調べ、$E(H_D)$ のランクへの寄与を解明すること。
• バーチとスウィンナートン＝ダイヤー予想に対する条件なしの証拠を提供し、ランクが $|D|^\delta$（$\delta>0$）のオーダーで増加することを示すこと。
• 類体拡張におけるヒーガー点の分布および算術的性質の理解を拡張すること。

提案手法

• グロス・ツァイジャーの公式を用いて、$L$-関数 $L(s, f \times \chi)$ の $s=1/2$ における導関数とヒーガー点のネロン＝ターティの高さを関連付ける。
• 特にマイケルの境界 $L'(1/2, f \times \chi) \ll |D|^{1/2 - \delta}$（$\delta = 1/1057$）を含む $L$-関数の部分凸界を適用し、$L$-導関数の大きさを制御する。
• $\operatorname{Cl}_D$ のすべてのグロッセンキャラクター $\chi$ を通じた $L'$-導関数の第一モーメントを用い、公式 $\frac{1}{h(D)}\sum_{\chi} L'(1/2, f \times \chi) = \alpha L(1, \chi_D) \widehat{h}(\varphi(z_D))$ を適用する。
• モーメント法の一般化を用いて、$D$ に依存しない正の定数 $c > 0$ を用いた一様な下界 $\widehat{h}(\varphi(z_D)) \geq c$ をヒーガー点 $\varphi(z_D)$ のネロン＝ターティの高さに対して確立する。
• $L'$-導関数の平均に対する下界と部分凸界を組み合わせることで、正の割合のキャラクター $\chi$ に対して $L'(1/2, f \times \chi) \neq 0$ であることを示し、これにより多くの線形独立なヒーガー点が得られることを示す。
• 非零 $L'$-導関数の数が任意の $\epsilon > 0$ に対して $\gg |D|^{\delta - \epsilon}$ であるという事実を用い、ランクの下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲線 $E$ が判別式 $D$ のヒーガー点をもつとき、$E(H_D)$ のランクは $|D|$ とともに増加するか？
• RQ2 バーチとスウィンナートン＝ダイヤー予想に依存しない、ヒーガー点によって生成される $E(H_D)$ のランクに対する条件なしの下界を確立できるか？
• RQ3 大きな基本的判別式 $D<0$ に対して、$E(H_D)$ のランクの最小の増加率は $|D|$ のどの程度の関数として表されるか？
• RQ4 $L'(1/2, f \times \chi)$ の非零性は、$H_D$ 上でのヒーガー点の線形独立性とどのように関係するか？
• RQ5 $L$-関数の部分凸界を用いて、独立なヒーガー点の数に対する有効な下界を導出できるか？

主な発見

• 十分に大きな $|D|$ に対して、判別式 $D$ のヒーガー点が生成する $E(H_D)$ の部分群のランクは、ある絶対定数 $\delta > 0$ を用いて $|D|^\delta$ 以上である。
• 下界 $|D|^\delta$ は、$L'$-導関数の非零性と部分凸推定に基づき、条件なしに得られる。
• ヒーガー点 $\varphi(z_D)$ のネロン＝ターティの高さは、$D$ に依存しない正の定数で一様に下から抑えられており、これは非ねじれ的かつ非退化な振る舞いを保証する。
• 非零 $L'(1/2, f \times \chi)$ を満たすキャラクター $\chi$ の数は、任意の $\epsilon > 0$ に対して $\gg |D|^{\delta - \epsilon}$ である。これは、少なくともその数だけの独立な点が存在することを示唆する。
• この結果はバーチとスウィンナートン＝ダイヤー予想と整合的であり、予想されるランクの増加は $|D|^{1/2}$ のオーダーであるため、$\delta$ は $1/2$ に近いと予想される。
• 証明はグロス・ツァイジャーの公式、$L'$-導関数の第一モーメント、および $\delta = 1/1057$ の部分凸界に依拠しており、明示的な有効な指数を導出する。