[論文レビュー] Minors and dimension

Bartosz Walczak|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、高さが有界な部分順序集合（poset）の次元が、固定された位相的部分グラフを含まない被覆グラフを持つ場合に有界であることを証明している。これは、平面グラフおよび有界木幅グラフの被覆グラフに関する先行研究を一般化するものである。証明は、Robertson-SeymourおよびGrohe-Marxによる構造的分解定理を活用し、一様な有界性を確立する。

ABSTRACT

Streib and Trotter proved in 2012 that posets with bounded height and with planar cover graphs have bounded dimension. Recently, Joret et al. proved that the dimension is bounded for posets with bounded height whose cover graphs have bounded tree-width. In this paper, it is proved that posets of bounded height whose cover graphs exclude a fixed (topological) minor have bounded dimension. This generalizes both the aforementioned results and verifies a conjecture of Joret et al. The proof relies on the Robertson-Seymour and Grohe-Marx structural decomposition theorems.

研究の動機と目的

• Joretらが提起した、位相的部分グラフを含まない被覆グラフと高さが有界な部分順序集合の次元が有界であるという予想を解決すること。
• 平面被覆グラフおよび有界木幅被覆グラフに関する先行結果を一般化すること。
• 位相的部分グラフの除外を用いた部分順序集合の次元の有界性に関する統一的枠組みを確立すること。

提案手法

• 固定された位相的部分グラフを含まない被覆グラフを分解するために、Robertson-Seymourのグラフ構造定理を用いる。
• そのようなグラフの構造的性質を分析するために、Grohe-Marxの分解定理を適用する。
• 部分順序集合の高さが有界であることを利用して、分解された各コンポONENTにおける次元の増加を制御する。
• 組合せ的議論を通じて、構造的グラフの性質を次元制約に変換する。
• 分解結果と部分順序集合の次元理論を組み合わせ、一様な有界性を導出する。
• 位相的部分グラフの除外と高さの有界性が、次元の有界性を示すことの成立を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被覆グラフが固定された位相的部分グラフを含まない場合、高さが有界な部分順序集合の次元は有界のまま保たれるか？
• RQ2 平面グラフおよび有界木幅グラフの被覆グラフに限らず、より広いクラスの位相的部分グラフを含まないグラフに対しても、次元の有界性が拡張可能か？
• RQ3 部分順序集合の次元の有界性に関する先行結果を統一する被覆グラフの構造的条件は存在するか？

主な発見

• 固定された位相的部分グラフを含まない被覆グラフと高さが有界な任意の部分順序集合の次元は有界である。
• 次元の有界性は、部分順序集合のサイズに依存せず、高さと除外された部分グラフにのみ依存する。
• この結果は、StreibとTrotterによる平面被覆グラフの結果およびJoretらによる有界木幅グラフの結果を両方一般化する。
• 証明により、このような部分順序集合のすべてに対して一様な次元の有界性が確立される。
• Robertson-SeymourおよびGrohe-Marxによる構造的分解定理が、有界性の導出において不可欠である。
• 本研究は、Joretらが提起した位相的部分グラフを含まない被覆グラフに関する予想を確認する。