[論文レビュー] MIP*=RE

Zhengfeng Ji, Anand Natarajan+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 33

ひとこと要約

本論文は、MIP*（エンタングルド・プロバーヤの対話証明系）と RE（再帰可 enumerate languages）を等しいことを証明し、停止問題の対話証明を構築し圧縮フレームワークを用いることにより、エンタングルド値決定問題が決定不能となり、ツァイレスソン問題が否定的に解決される。

ABSTRACT

We show that the class MIP* of languages that can be decided by a classical verifier interacting with multiple all-powerful quantum provers sharing entanglement is equal to the class RE of recursively enumerable languages. Our proof builds upon the quantum low-degree test of (Natarajan and Vidick, FOCS 2018) and the classical low-individual degree test of (Ji, et al., 2020) by integrating recent developments from (Natarajan and Wright, FOCS 2019) and combining them with the recursive compression framework of (Fitzsimons et al., STOC 2019). An immediate byproduct of our result is that there is an efficient reduction from the Halting Problem to the problem of deciding whether a two-player nonlocal game has entangled value $1$ or at most $1/2$. Using a known connection, undecidability of the entangled value implies a negative answer to Tsirelson's problem: we show, by providing an explicit example, that the closure $C_{qa}$ of the set of quantum tensor product correlations is strictly included in the set $C_{qc}$ of quantum commuting correlations. Following work of (Fritz, Rev. Math. Phys. 2012) and (Junge et al., J. Math. Phys. 2011) our results provide a refutation of Connes' embedding conjecture from the theory of von Neumann algebras.

研究の動機と目的

• MIP*フレームワークとその量子対話証明における意義を動機づけ formalizeする。
• MIP*(2,1)がREを捉えることを、停止問題をエンタングルド非局所ゲームへ還元して示す。
• 圧縮、内省、低次数テストを活用して、決定不能なエンタングルド値問題を構築する。
• ツァイレスソン問題とConnesの埋め込み予想への影響を導く。

提案手法

• Cqs, Cqa, Cqcとしての量子および古典的相関集合を定義・分析する。
• 正規形の非局所ゲームの拡張を保つ圧縮手順を導入する。
• val*(G_M,n)が停止するMと停止しないMを識別するような非局所ゲームの無限ファミリ G_M,n を構築する。
• 内省と量子低次数テストを用いて分布を堅牢に自己検証し、圧縮フレームワークを可能にする。
• 圧縮を反復適用して不動点ゲーム GM を得、val*(GM)=1 iff M が停止する。
• エンタングルド値の不決定性がツァイレスソン問題およびConnesの埋め込み予想に対する否定的な答えを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 REはエンタングルドプローバによる1回限りの2プローバ対話証明系で捉えられるか。
• RQ2 停止問題から2プローバ非局所ゲームのエンタングルド値を決定する効率的な還元が存在するか。
• RQ3 MIP* = REがツァイレスソン問題とConnesの埋め込み予想に与える影響は何か。
• RQ4 過去のMIP*構成のギャップ制約を圧縮/内省フレームワークで克服できるか。

主な発見

• MIP* は RE に等しい。これによりエンタングルドプローバ対話証明の完全な特徴づけとして MIP* = RE が成立する。
• 停止問題から2人プレーヤーの非局所ゲームがエンタングルド値1か少なくとも1/2かを決定する効率的な還元が存在する。
• 明示的な分離により、量子テンソル積相関の閉包集合が量子互換相関に対して厳密に包含されることを示し、ツァイレスソン問題を反証する。
• 結果はConnesの埋め込み予想が von Neumann代数との確立された結びつきを介して偽であることを示唆する。
• 同期/ PCC戦略は停止の場合にval*(GM)=1を証明し、圧縮ベースの停止証明を支える。