[論文レビュー] Mirabolic Robinson-Schensted-Knuth correspondence

Roman Travkin|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2008

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、GL(V)-軌道がFl(V) × Fl(V) × V に添えられた装飾付き置換で添えられるものと、2つの標準ヤング盤と1つの分割からなる三つ組の間の双対性を確立するミラボリック Robinson-Schensted-Knuth (RSK) 対応を導入する。この対応により、これらの軌道が組合せ論的セルに分割され、それが一般の余接ベクトルの型によって定義されるマイクロローカル両側セルと一致することが示される。著者らはさらに、これらのセルが旗多様体の積とVから生じるヘッケ代数の両側加群における二重セルKazhdan-Lusztigセルと一致すると予想し、ユニポテンツ・ミラボリック特徴関数層の分類への応用を提案する。

ABSTRACT

The set of orbits of $GL(V)$ in $Fl(V) imes Fl(V) imes V$ is finite, and is parametrized by the set of certain decorated permutations in a work of Solomon. We describe a Mirabolic RSK correspondence (bijective) between this set of decorated permutations and the set of triples: a pair of standard Young tableaux, and an extra partition. It gives rise to a partition of the set of orbits into combinatorial cells. We prove that the same partition is given by the type of a general conormal vector to an orbit. We conjecture that the same partition is given by the bimodule Kazhdan-Lusztig cells in the bimodule over the Iwahori-Hecke algebra of $GL(V)$ arising from $Fl(V) imes Fl(V) imes V$. We also give conjectural applications to the classification of unipotent mirabolic character sheaves on $GL(V) imes V$.

研究の動機と目的

• GL(V)-軌道を新しい組合せ論的対応によりFl(V) × Fl(V) × V で分類すること。
• 古典的RSKアルゴリズムの一般化として、これらの軌道と標準ヤング盤の三つ組および分割の間の双対性を確立すること。
• この対応が、一般の余接ベクトルの型（マイクロローカルセル）によって定義される軌道の分割と一致することを証明すること。
• 同じ分割がヘッケ代数の両側加群RNにおける二重セルKazhdan-Lusztigセルに対応すると予想すること。
• GL(V) × V 上のユニポテンツ・ミラボリック特徴関数層の分類への応用を提案すること。

提案手法

• RBN内の装飾付き置換と、|ν| = |ν′| = N である形状ν, ν′の標準ヤング盤T1, T2およびν ⊃ θ ⊂ ν′を満たす分割θからなる三つ組(T1, T2, θ)との間の双対性としてミラボリックRSK対応を定義する。
• 三つ組(ν ⊃ θ ⊂ ν′)によって添えられた、余接包の閉じた既約部分多様体Zを、軌道の余接バンドルの閉包の像として構成する。
• GL(V)--equivariant混合Tate複体のGrothendieck群におけるIwahori-Hecke代数HNの作用を用いて、両側加群RNを定義する。
• RBN内の軌道によって添えられたKazhdan-Lusztig基底を用いて、RNにおける両側加群Kazhdan-Lusztigセルを定義する。
• フーリエ＝デリーニュ変換を介してRBNに自己同型Fを導入し、これが左、右、両側加群セルを保存することを示す。
• ミラボリックRSK出力(ν, ν′, θ)がマイクロローカルおよび両側加群KLセルを分類すると予想し、また漸近的両側加群Jν⊃θ⊂νがミラボリックRSK写像を介して行列両側加群MatSt(ν)と同型であると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミラボリックRSK対応は、Fl(V) × Fl(V) × V におけるGL(V)-軌道を、標準ヤング盤の三つ組と1つの分割によって分類するか？
• RQ2 一般の余接ベクトルのノルム型によって定義されるマイクロローカル両側セルは、ミラボリックRSK出力(ν, ν′, θ)によって定義されるセルと一致するか？
• RQ3 RBNの両側加群Kazhdan-Lusztigセルへの分割は、ミラボリックRSK対応によって誘導される分割と同値か？
• RQ4 対角セル(ν = ν′)におけるLusztigのJνに関する漸近的両側加群が、ミラボリックRSKアルゴリズムを介して行列両側加群として実現可能か？
• RQ5 Fl(V) × Fl(V) × V 上のGL(V)--equivariantな perverse sheaf の押し出しCH(F) の既約成分は、(ν, θ)によって添えられたユニポテンツ・ミラボリック特徴関数層に対応するか？

主な発見

• ミラボリックRSK対応により、RBN内の装飾付き置換の集合と、|ν| = |ν′| = N である形状ν, ν′の標準ヤング盤T1, T2およびν ⊃ θ ⊂ ν′を満たす分割θからなる三つ組(T1, T2, θ)の集合との間の双対性が与えられる。
• 一般の余接ベクトルのノルム型によって定義されるRBNのマイクロローカル両側セルへの分割は、ミラボリックRSK出力(ν, ν′, θ)によって誘導される分割と完全に一致する。
• フーリエ＝デリーニュ変換によって誘導されるRBN上の自己同型Fは、左、右、両側加群Kazhdan-Lusztigセルをすべて保存する。
• RNにおける両側加群KLセルは、ミラボリックRSK出力(ν, ν′, θ)によって正確に分割されると予想され、˜wと˜w′が同じセルに属するのは、それらが同じ(ν, ν′, θ)を出力するときである。
• 漸近的両側加群Jν⊃θ⊂νは、ミラボリックRSK写像を介して行列両側加群MatSt(ν)と同型であると予想され、t˜wは(˜wから構成された(T1, T2)に対応するeT1,T2にマッピングされる。
• ユニポテンツ・ミラボリックWeil層のK群におけるCH(˜H˜w)の類は、Fλ,μの線形結合であると予想され、係数fλ,μは(ν, θ) = Υ(λ, μ)に対応する項以外では消える。