[論文レビュー] Miraculous Cancellation and Pick's Theorem

K. E. Feldman|ArXiv.org|Oct 3, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、格子多面体のピックの定理と、複素コボルディズムにおける一般化された驚くべきキャンセレーション公式の間の深い関係を確立する。ランドウ＝ノヴィコフ代数と安定的にほぼ複素多様体の特徴類を用いることで、多面体内の格子点数の重み付き和の公式を導出し、ねじれトッド汎関数を用いたトーリック多様体へのピックの定理の高次元化を一般化するとともに、2次元における古典的公式およびデルツァント多面体における3次元の新たな類似公式と同等であることを証明する。

ABSTRACT

We show that the Cappell-Shaneson version of Pick's theorem for simple lattice polytopes is a consequence of a general relation between characteristic numbers of virtual submanifolds dual to the characteristic classes of a stably almost complex manifold. This relation is analogous to the miraculous cancellation formula of Alvarez-Gaume and Witten, and is imposed by the action of the Landweber-Novikov algebra in the complex cobordism ring of a point.

研究の動機と目的

• 複素コボルディズムにおける共通の枠組みを通じて、ピックの定理とアラルベス＝ガウメおよびウィッテンの驚くべきキャンセレーション公式を統一すること。
• 仮想部分多様体の特徴数番号を用いて、単純な格子多面体へのピックの定理の高次元化を実行すること。
• 滑らかなトーリック多様体のコボルディズム不変量と、それらに付随する多面体内の格子点数の間に双対性を確立すること。
• トーリック幾何におけるねじれシグネチャーやトッド汎関数の明示的計算可能な公式を提供することにより、格子点の明示的数え上げを可能にすること。

提案手法

• 点の複素コボルディズム環におけるキャンセレーション公式を導出し、アラルベス＝ガウメ＝ウィッテンの驚くべきキャンセレーションに類似させる。
• ランドウ＝ノヴィコフ代数の作用を適用し、安定的にほぼ複素多様体のチャーン類に双対する仮想部分多様体の特徴数番号を関連付ける。
• トッド類と指数的チャーン類を用いて、格子多面体に付随するトーリック多様体のためのねじれ汎関数を定義する。
• ポアンカーレ双対性を適用し、接バンドルのコボルディズムチャーン類に双対する部分多様体を定義する。
• トーリック多様体のねじれシグネチャーを、多面体の各面における重み付き和として表現し、重みは(−1/2)^kで与えられる（kは面の余次元に依存）。
• 一般化されたコホモロジーと余次元1の面の原始的ベクトルを用いて、任意次元における単項式チャーン特徴数番号を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カッペル＝シャネソンのピックの定理のバージョンは、複素コボルディズムにおける普遍的なキャンセレーション公式から導出可能か？
• RQ2 チャーン類に双対する仮想部分多様体の特徴数番号は、多面体内の格子点数とどのように関係するか？
• RQ3 トーリック多様体のねじれトッド汎関数を用いたピックの定理の高次元一般化は何か？
• RQ4 トーリック多様体のL-類は、面のデータと原始的ベクトルを用いて組合せ的に表現可能か？
• RQ5 3次元のデルツァント多面体におけるねじれシグネチャーの明示的形は何か？ そして、格子点数とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、カッペル＝シャネソンのピックの定理のバージョンが、複素コボルディズムにおけるキャンセレーション公式から生じることを証明し、アラルベス＝ガウメおよびウィッテンの驚くべきキャンセレーションを一般化する。
• 2次元の凸格子多角形Pに対して、この公式は古典的ピックの定理に還元される： 面積(P) = 内部点数(P) + 周囲点数(P)/2 - 1。
• 3次元において、正則なデルツァントの正四面体に対して、公式は 内部点数 + 面数/2 + 辺数/4 + 頂点数/8 = 体積(P) - Σ(a_j)/3 を与え、ここでa_jは面積を表す。
• トーリック多様体のねじれシグネチャーは、面ごとの格子点数の重み付き和として表現され、重みは(−1/2)^k（kは面の余次元）に依存する。
• 滑らかなトーリック多様体の単項式チャーン特徴数番号の一般式が、余次元1の面を定義する原始的ベクトルを用いて導出される。
• 本手法により、特徴類とトーリック幾何を用いて、単純な格子多面体の明示的で幾何的に意味のある不変量が得られる。