[論文レビュー] Mirror symmetry and Exact Solution of 4D N=2 Gauge Theories I

S. D. Katz, Peter Mayr+1 more|ArXiv.org|Jun 13, 1997

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、Calabi-Yau三様体上の型IIA超弦コンpactificationにおける幾何的エンジニアリングとミラー対称性を用いて、$SU$ゲージ群と双ファンドアメンタルまたはファンドアメンタル場を持つ4次元 $N=2$ゲージ理論のクーロン枝モジュライ空間の正確な解を導出する。非摂動的自由性がクイバー図をADEまたはアフィンADEディンキン図に制限することを示し、正確な解はミラーCalabi-Yau三様体の複素幾何に符号化されている。一部の状況ではT双対性により、これはリーマン面に簡略化される。

ABSTRACT

Using geometric engineering in the context of type II strings, we obtain exact solutions for the moduli space of the Coulomb branch of all N=2 gauge theories in four dimensions involving products of SU gauge groups with arbitrary number of bi-fundamental matter for chosen pairs, as well as an arbitrary number of fundamental matter for each factor. Asymptotic freedom restricts the possibilities to SU groups with bi-fundamental matter chosen according to ADE or affine ADE Dynkin diagrams. Many of the results can be derived in an elementary way using the self-mirror property of K3. We find that in certain cases the solution of the Coulomb branch for N=2 gauge theories is given in terms of a three dimensional complex manifold rather than a Riemann surface. We also study new stringy strong coupling fixed points arising from the compactification of higher dimensional theories with tensionless strings and consider applications to three dimensional N=4 theories.

研究の動機と目的

• 4次元 $N=2$ $SU$ゲージ群と双ファンドアメンタルまたはファンドアメンタル場を有するゲージ理論のクーロン枝モジュライ空間の正確な解を導出すること。
• 非摂動的自由性とクイバー図におけるADEまたはアフィンADEディンキン図との対応関係を確立すること。
• 型IIA超弦コンパクト化におけるCalabi-Yau三様体のミラー対称性が、木レベルの型IIB幾何から正確な量子補正付きモジュライ空間をもたらすことを示すこと。
• 既知の双対性を超えて、非非摂動的自由な場合や3次元 $N=4$理論を含む、幾何的エンジニアリングの手法を一般化すること。
• S双対性群が楕円曲線上の平坦ADEゲージ場の基本群に対応することを示し、超弦理論的起源と場の理論双対性を結びつけること。

提案手法

• 幾何的エンジニアリング：$\mathbb{P}^1$ 上にファイバー化されたADE特異性を有するCalabi-Yau三様体上での型IIA超弦のコンパクト化により、4次元 $N=2$理論を構成する。
• ミラー対称性を用いて型IIA幾何を型IIBモデルに写像し、複素構造モジュライが量子力学的に補正されないため、正確なクーロン枝が得られる。
• ミラー幾何を非コンパクトなCalabi-Yau三様体の一部として特定し、モジュライ空間がこの空間の複素構造に符号化されていることを示す。
• 特定の状況では、幾何をリーマン面 $\Sigma$ に簡略化し、T双対性によりM5-braneの世界体積 $R^4 \times \Sigma$ に対応づける。
• $K3$の自己ミラー性を用いて、特定の配置に対して簡潔に結果を導出する。
• この構成を非摂動的自由および超共形理論の両方のケースに適用し、3次元双対性に影響を与える$U(1)$因子を有する理論も含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 $N=2$ $SU$ゲージ理論に双ファンドアメンタルおよびファンドアメンタル場を有する場合、超弦理論を用いてクーロン枝の正確な解をどのように導出できるか？
• RQ2 ADEおよびアフィンADEディンキン図は、非摂動的自由な $N=2$ゲージ理論の許容されるクイバー構造を制限する上で果たす役割は何か？
• RQ3 Calabi-Yau三様体上の型IIA超弦コンパクト化におけるミラー対称性が、クーロン枝の正確な量子補正付きモジュライ空間をどのようにもたらすか？
• RQ4 どのような場合にミラー幾何がリーマン面に簡略化され、その簡略化に物理的意味はあるか？
• RQ5 3次元 $N=4$理論において、$U(1)$ゲージ因子は、4次元 $N=2$コンパクト化から得られる双対性構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 4次元 $N=2$ $SU$ゲージ理論に双ファンドアメンタルおよびファンドアメンタル場を有する場合、クーロン枝モジュライ空間の正確な解は、量子レベルで補正されないミラーCalabi-Yau三様体の複素構造に符号化されている。
• 4次元における非摂動的自由性は、クイバー図をADEまたはアフィンADEディンキン図に制限し、各$SU$群のランクは対応するノードにおけるディンキン指数と関連している。
• アフィンADEクイバーを持つ場合、追加のファンドアメンタル場がなければ超共形理論となるが、ADEクイバーでは超共形性を達成するためには追加のファンドアメンタル場が必要である。
• 理論のS双対性群は、楕円曲線上の平坦ADEゲージ場の基本群に対応し、場の理論双対性の超弦的起源を提供する。
• 特定の配置では、ミラー幾何がリーマン面 $\Sigma$ に簡略化され、T双対性によりM理論的実装におけるM5-braneの世界体積 $R^4 \times \Sigma$ と等価である。
• この構成は3次元 $N=4$理論へも拡張可能であり、4次元 $N=2$理論を円にコンパクト化し、ヒッグスおよびクーロン枝を解析することで双対性が明らかになる。例えば、アフィン$E_8$クイバーを持つ$\prod U(s_i)$の双対は、小さな$E_8$インスタントン理論である。