[論文レビュー] Mirror symmetry and projective geometry of Reye congruences I

Shinobu Hosono, Hiromichi Takagi|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{P}^4$ 内のReye合同の起源となるCalabi-Yau三様体について、鏡対称性を調査し、Reye合同Calabi-Yau三様体 $X$ に対して非自明なFourier-Mukai同伴 $Y$ を予想し、構成する。トーリック鏡対称性と周期積分解析を用いて、$X$ に対応する1つの、および $Y$ に対応するもう1つの大複素構造極限点を同定する。$Y$ は、$\mathbb{P}^4$ 内の行列式的5次超曲面の $\mathbb{Z}_2$-被覆として実現され、Genus 26 の曲線の上に分岐する。主な貢献は、$Y$ の明示的構成と、$X$、$Y$、および関連する完全交差 $\tilde{X}_0$ のBPS数の鏡対称性による計算である。

ABSTRACT

Studying the mirror symmetry of a Calabi-Yau threefold $X$ of the Reye congruence in $\mP^4$, we conjecture that $X$ has a non-trivial Fourier-Mukai partner $Y$. We construct $Y$ as the double cover of a determinantal quintic in $\mP^4$ branched over a curve. We also calculate BPS numbers of both $X$ and $Y$ (and also a related Calabi-Yau complete intersection $ ilde X_0$) using mirror symmetry.

研究の動機と目的

• Reye合同Calabi-Yau三様体を $\mathbb{P}^4$ 内の五つの対称的 $(1,1)$-除集合の幾何的性質を用いて、$\mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^4$ 内で定義されたものとして鏡対称性を調査する。
• Reye合同Calabi-Yau三様体 $X$ に対して、$G(2,7)$ と $Pf(7)$ の双対性に類似した非自明なFourier-Mukai同伴 $Y$ の存在を予想する。
• $Y$ を、$\mathbb{P}^4$ 内の行列式的5次超曲面の $\mathbb{Z}_2$-被覆として明示的に構成し、その分岐曲線を genus 26、degree 20 の滑らかな曲線とする。
• 鏡対称性を用いて、$X$、$Y$、および関連する完全交差 $\tilde{X}_0$ のGromov-Witten不変量とBPS数を計算する。

提案手法

• 五つの対称的 $(1,1)$-除集合の一般的完全交差 $\tilde{X}_0$ を $\mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^4$ 内に構成し、写像 $\sigma: (z,w) \mapsto (w,z)$ を用いて $\mathbb{Z}_2$-商として $X$ を得る。
• BatyrevとBorisovのトーリック鏡対称構成を適用し、$\mathbb{P}^2$ 上に鏡ファミリー $\mathcal{X}_0^\vee$ を構築し、それを $\mathbb{P}^1$ 上の対角ファミリー $\mathcal{X}^\vee$ に還元して $X$ の鏡を得る。
• ファミリーの周期積分を解析し、$\mathcal{X}^\vee$ 上で最大のユニポテンツモノドロミーを持つ2つの異なる大複素構造極限点を同定する。一方は $X$ に対応し、他方は予想される $Y$ に対応する。
• 鏡対称性を用いて、各境界点におけるGromov-Witten不変量とBPS数を計算し、周期写像とモノドロミー解析により予想を検証する。
• Reye合同の射影的幾何を用いて、$\mathbb{P}^4$ 内の行列式的5次超曲面の $\mathbb{Z}_2$-被覆として $Y$ を明示的に構成する。分岐は、genus 26、degree 20 の滑らかな曲線である。
• 鏡対称性により、$X$、$Y$、$\tilde{X}_0$ のBPS数を検証し、$g \leq 14$ および $d=16$ までにわたる明示的な表を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Reye合同Calabi-Yau三様体 $X$ は、その射影的幾何から生じる非自明なFourier-Mukai同伴 $Y$ を持つか？
• RQ2 $X$ の鏡ファミリーは $\mathbb{P}^1$ 上の対角ファミリーに還元可能か？ その場合、大複素構造極限点にどのような意味があるか？
• RQ3 予想されるCalabi-Yau三様体 $Y$ は、$\mathbb{P}^4$ 内の行列式的5次超曲面の $\mathbb{Z}_2$-被覆として、genus 26、degree 20 の曲線の上に分岐する形で構成可能か？
• RQ4 鏡対称性により計算された $X$、$Y$、$\tilde{X}_0$ のBPS数は、Gromov-Witten理論からの期待される不変量と一致するか？
• RQ5 $G(2,7)$ と $Pf(7)$ の場合と同様に、$D^b(Coh(X)) \cong D^b(Coh(Y))$ のような導来カテゴリカル同値が、この設定でも予想されるか？

主な発見

• Reye合同Calabi-Yau三様体 $X$ は、$\mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^4$ 内の五つの対称的 $(1,1)$-除集合の完全交差 $\tilde{X}_0$ の $\mathbb{Z}_2$-商として構成され、Hodge数は $h^{1,1}(X) = 1$、$h^{2,1}(X) = 26$ である。
• 鏡ファミリー $\mathcal{X}_0^\vee$ は、Batyrev-Borisov のトーリック法により $\mathbb{P}^2$ 上に構成され、$\mathbb{P}^1$ 上の対角ファミリー $\mathcal{X}^\vee$ に還元され、最大のユニポテンツモノドロミーを持つ2つの大複素構造極限点をもつ。
• 2つの境界点のうち、1つは $X$ の鏡に対応し、もう1つは新たなCalabi-Yau三様体 $Y$ の存在を予想する。$Y$ は、$\mathbb{P}^4$ 内の行列式的5次超曲面の $\mathbb{Z}_2$-被覆として、genus 26、degree 20 の滑らかな曲線の上に分岐する形で構成される。
• $X$、$Y$、$\tilde{X}_0$ のBPS数は鏡対称性により計算され、$g=14$ までおよび $d=16$ までにわたる表にまとめられ、付録の表1〜6に明示的な値が提示されている。
• $X$ に対しては、BPS数 $n_1^X(1,1) = 650$、$n_2^X(1,1) = 148525$、$n_3^X(1,1) = 3270050$ が得られ、$Y$ に対しては $n_1^Y(1,1) = 1475$、$n_2^Y(1,1) = 29350$、$n_3^Y(1,1) = 148525$ であり、双対性のパターンが確認される。
• $\tilde{X}_0$ のBPS数は、二重次数 $(i,j)$ で表され、$n_0^{\tilde{X}_0}(1,1) = 650$、$n_1^{\tilde{X}_0}(1,1) = 29350$、$n_2^{\tilde{X}_0}(1,1) = 148525$ であり、鏡対称性と整合的であることが確認された。