[論文レビュー] Mirror symmetry and quantum cohomology of projective bundles

Artur Elezi|ArXiv.org|Oct 25, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、トーリック多様体内の半正則完備交差上への射影バンドルに関する鏡対称性の予想を証明し、射影バンドルの量子Dモジュールがねじれハイパージェオメトリック級数から生じることを示している。主な結果は、古典的コホロジー関係 $\prod_{i=0}^{n}(z - c_1(L_i)) = 0$ が、小量子コホロジー環において $z\prod_{i=1}^{n}(z - c_1(L_i)) = q_1$ に変形されることであり、$X$ からの関係が微分作用素を通じてバンドルへと持ち上がる。

ABSTRACT

In an earlier paper we conjectured a relation between the quantum $\mathcal D$-modules of a smooth variety $X$ and the projectivisation of a direct sum of line bundles over it. In this paper we prove the conjecture when $X$ is a complete intersection in a toric variety. We also use the conjecture to show that the relations of the small quantum cohomology ring of $X$ that come from differential operators lift to the projective bundle. The basic cohomology relation of the projective bundle deforms to a relation in the small quantum cohomology.

研究の動機と目的

• 射影バンドル $\mathbb{P}(V) \to X$ における鏡対称性に関する予想を証明すること。ここで $X$ はトーリック多様体内の半正則完備交差である。
• 射影バンドル $\mathbb{P}(V)$ の $J$-関数がねじれハイパージェオメトリック級数 $I(\mathbb{P}(V))$ と一致することを確立し、ファノの場合の拡張として非ファノ設定への適用を実現すること。
• ベース $X$ からの量子コホロジー関係が微分作用素を通じて射影バンドル $\mathbb{P}(V)$ へと持ち上がる様子を示すこと。
• 射影バンドル $\mathbb{P}(V)$ の小量子コホロジー環における古典的コホロジー関係 $\prod_{i=0}^{n}(z - c_1(L_i)) = 0$ の量子変形を同定すること。

提案手法

• ファイバークラスからの量子補正を符号化する twisting 因子 $\mathcal{T}_{\nu,\beta}$ を用いて、ねじれハイパージェオメトリック級数 $I(\mathbb{P}(V))$ を構成する。
• 1点のグロモフ＝ウィッテン不変量および重力的後代数を生成する関数として、$J$-関数 $J(\mathbb{P}(V))$ を定義する。
• 予想的な等式 $J(\mathbb{P}(V)) = I(\mathbb{P}(V))$ を用いて、微分作用素を介して量子コホロジー関係を導出する。
• 微分作用素 $\tilde{\mathcal{P}}$ を構築し、$J(\mathbb{P}(V))$ に作用させることで、$QH^*_s X$ からの関係を $QH^*_s \mathbb{P}(V)$ へ持ち上げる。
• 作用素 $\Delta = \prod_{i=0}^{n}(\hbar\partial/\partial t_{k+1} - \sum_j a_{ij}\hbar\partial/\partial t_j) - q_1$ が $J(\mathbb{P}(V))$ を消滅させることを示し、$QH^*_s \mathbb{P}(V)$ において $\prod_{i=0}^{n}(z - c_1(L_i)) = q_1$ が成り立つことを示す。
• 写像 $i_*: H_2(X) \to H_2(\mathbb{P}(V))$ の単射性を証明することで、トーリックの場合に予想を検証し、$X$ と $\mathbb{P}(V)$ 間での $J$-関数および $I$-関数の引き戻しを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影バンドルがトーリック多様体内の半正則完備交差上にある場合、予想される鏡対称性関係 $J(\mathbb{P}(V)) = I(\mathbb{P}(V))$ は成立するか？
• RQ2 ベース多様体 $X$ からの量子コホロジー関係は、射影バンドル $\mathbb{P}(V)$ の量子コホロジー環内でどのように変形されるか？
• RQ3 $H^*\mathbb{P}(V)$ 内の古典的コホロジー関係 $\prod_{i=0}^{n}(z - c_1(L_i)) = 0$ の量子変形は何か？
• RQ4 $J(X)$ を消滅させる微分作用素を $J(\mathbb{P}(V))$ を消滅させるものに持ち上げることは可能か？ その結果得られる関係は $QH^*_s \mathbb{P}(V)$ でどのように表れるか？
• RQ5 twisting 因子 $\mathcal{T}_{\nu,\beta}$ は、$\mathbb{P}(V)$ 内のファイバーごとの有理曲線からの量子補正をどのように符号化するか？

主な発見

• $X$ がトーリック多様体内の半正則完備交差である場合、予想 $J(\mathbb{P}(V)) = I(\mathbb{P}(V))$ が証明され、そのような射影バンドルにおける鏡対称性が確立された。
• 古典的コホロジー関係 $\prod_{i=0}^{n}(z - c_1(L_i)) = 0$ は、射影バンドル $\mathbb{P}(V)$ の小量子コホロジー環において $z\prod_{i=1}^{n}(z - c_1(L_i)) = q_1$ に変形される。これは $\mathbb{P}^n$ の場合の一般化である。
• $QH^*_s X$ からの関係は、微分作用素を通じて $QH^*_s \mathbb{P}(V)$ へ持ち上がり、$p_i$ の量子積は $\prod_{i=1}^{n}(z - c_1(L_i))^{L_i(\alpha)}$ を含む係数で変形される。
• $\mathbb{P}(V)$ の $J$-関数は $\Delta J(\mathbb{P}(V)) = 0$ を満たす。ここで $\Delta = \prod_{i=0}^{n}(\hbar\partial/\partial t_{k+1} - \sum_j a_{ij}\hbar\partial/\partial t_j) - q_1$ であり、$QH^*_s \mathbb{P}(V)$ において $\prod_{i=0}^{n}(z - c_1(L_i)) = q_1$ が成り立つことを示唆する。
• $i_*: H_2(X) \to H_2(\mathbb{P}(V))$ が単射であるとき、$X$ と $\mathbb{P}(V)$ の $J$-関数および $I$-関数は引き戻しに関して整合的であり、トーリックの場合の予想の証明を可能にする。
• $\mathcal{T}_{\nu,\beta}$ は、$c_1(\tilde{L}_j) \cdot \alpha = 0$ を満たす $H_2(X)$ 内の $\alpha$ によるシフトに関して不変であり、$I_{\nu,\beta}$ の構成における一貫性を保証する。