[論文レビュー] Mirror symmetry aspects for compact G_2 manifolds

Sema Salur, Osvaldo P. Santillán|ArXiv.org|Jul 10, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、(CY₃ × S¹)/ℤ₂ の形をしたコンpaktoな「ほとんど」G₂多様体に対するミラー対称性フレームワークを提案し、そのミラーがCY基底のミラー上にファイブレーションされた同様の多様体であると示唆している。さらに、h¹¹ = h²¹ = 19 を持つ自己ミラーCY₃から構成される第一種ジョイス多様体は、一般化されたG₂ミラー対称性のもとで自己ミラーであると予想し、また、ホテイシック/M-理論におけるK3 × S¹と双対であるとし、これらの空間へのコンパクト化において5-braneインスタントンが存在しないと結論づけている。

ABSTRACT

The present paper deals with mirror symmetry aspects of compact ``barely'' $G_2$ manifolds, that is, $G_2$ manifolds of the form (CY$ imes S^1)/\mathbb{Z}_2$. We propose that the mirror of any barely $G_2$ manifold is another barely one and which is constructed as a fibration of the \emph{mirror} of the CY base. Also, we describe the Joyce manifolds of the first kind as ``barely'' and we show that the underlying CY of all the family is self-mirror with $h^{1,1}=h^{2,1}=19$. We thus propose that the mirror of a Joyce space of the first kind will be another Joyce space of the first kind.We also suggest that this self-mirror CY family is dual to K3$ imes S^1$ in the heterotic/M-theory sense, and that arise as a particular case of the Borcea-Voisin construction. As a spin-off we conclude from this analysis that no 5-brane instantons are present in compactifications of eleven dimensional supergravity over Joyce manifolds of the first kind.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau三様体におけるミラー対称性を、特に (CY₃ × S¹)/ℤ₂ の形をしたコンパクトG₂多様体へと拡張すること。
• h¹¹ = h²¹ = 19 を持つ自己ミラーCY₃から構成される第一種ジョイス多様体が、一般化されたG₂ミラー対称性のもとで自己ミラーであるかどうかを調査すること。
• ホテイシック/M-理論のコンパクト化の文脈において、自己ミラーCY₃の族とK3 × S¹との双対性を調査すること。
• 第一種ジョイス多様体へのM理論のコンパクト化において5-braneインスタントンが存在しないことの分析と、それによるスーパーポテンシャルへの影響を検討すること。

提案手法

• ミラーのほとんどG₂多様体が、そのCY₃基底のミラー上にファイブレーションされた、同様の構造 (CY₃ × S¹)/ℤ₂ を持つ別のほとんどG₂多様体であると提案する。
• Borcea-Voisin構成を用いて、特にh¹¹ = h²¹ = 19 を持つ自己ミラーCY₃のミラー対称性を分析する。
• 複素構造/シンプレクティック構造の双対写像（h¹¹ ↔ h²¹）をCY基底に適用し、トポロジカル不変量 b₂ + b₃ = h¹¹ + h²¹ + 1 がこの写像のもとで不変であることを示す。
• ほとんどG₂多様体内のアソシエイティブ3-サイクルを分析し、ホロモーフィック型（Σhol）とラグランジュ型（Σr）のサイクルを区別し、これらがスーパーポテンシャルに寄与することを示す。
• 第一種ジョイス多様体へのコンパクト化において5-braneインスタントンが存在しないのは、その背後にあるCY₃の構造とℤ₂商の性質によるものであり、それを主張する。
• 古典的解析に依拠しており、量子効果がねじれセクター状態を導入する可能性は認めるが、これらの条件下でも古典的ミラー提案は有効であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau三様体におけるミラー対称性を、特に (CY₃ × S¹)/ℤ₂ の形をしたコンパクトG₂多様体へと拡張できるか？
• RQ2 h¹¹ = h²¹ = 19 を持つ自己ミラーCY₃から構成される第一種ジョイス多様体のミラーが、再び第一種ジョイス多様体であるか？
• RQ3 h¹¹ = h²¹ = 19 を持つ自己ミラーCY₃の族は、ホテイシック/M-理論の文脈でK3 × S¹と双対性を示すか？
• RQ4 第一種ジョイス多様体へのM理論のコンパクト化において5-braneインスタントンが存在するか？ そして、それはスーパーポテンシャルにどのように影響するか？

主な発見

• 任意のほとんどG₂多様体のミラーは、予想として、そのCY₃基底のミラー上にファイブレーションされた、別のほとんどG₂多様体であるとされる。このとき、トポロジカル不変量 b₂ + b₃ = h¹¹ + h²¹ + 1 が保存される。
• h¹¹ = h²¹ = 19 を持つ自己ミラーCY₃から構成される第一種ジョイス多様体は、一般化されたG₂ミラー対称性のもとで自己ミラーであると提案されている。
• h¹¹ = h²¹ = 19 を持つ自己ミラーCY₃の族は、ホテイシック/M-理論の双対性枠組みにおいてK3 × S¹と双対であると示唆されている。
• 第一種ジョイス多様体への十一次元スーパーグラビティのコンパクト化には5-braneインスタントンが存在せず、スーパーポテンシャルがアソシエイティブ3-サイクルによって完全に決定されることを示唆している。
• 古典的解析により、ℤ₂作用がCY₃上で固定点を持たない限り、ねじれセクターからの新しい質量ゼロ状態は生じないことが示され、古典的ミラー提案の有効性が支持されている。
• 複素構造/シンプレクティック構造の双対写像のもとで、b₂ + b₃ = h¹¹ + h²¹ + 1 が不変であることは、これらのG₂多様体における安定なミラー対応関係の存在を示唆している。