[論文レビュー] Mirror symmetry for abelian varieties

Vasily Golyshev, Valery A. Lunts+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 1998

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 38

ひとこと要約

本稿は、複素アーベル多様体とその複素化されたアーマンコーン内のクラスからなる代数的対 (A, ω_A) に対する、新しい代数的幾何的定義の鏡映性を提示する。導来カテゴリとホッジ群および垂直代数的群の間の相互作用を用いて、水平構造と垂直構造を入れ替える、コホロジー環の標準的同型を確立し、鏡像対がイソジェニーを除いて一意に定まること、および導来同値性が鏡映性の整合性を意味することを証明する。

ABSTRACT

We work out the notion of mirror symmetry for abelian varieties and study its properties. Our construction are based on the correspondence between two $Q$--algebraic groups. One is the Hodge (or special Mumford--Tate) group. The second group $\bar{Spin(A)}$ is defined as follows: the group of autoequivalences of the bounded derived category of coherent sheaves acts on the total cohomology $H(A,Q)$ of an abelian variety $A$ via algebraic correspondences. The group $\bar{Spin(A)}$ is now the Zariski closure of its image in $GL(H(A,Q))$. Our constructions are compatible with the picture of mirror symmetry sketched by Kontsevich, Morrison, and others.

研究の動機と目的

• 複素アーベル多様体 A とその複素化されたアーマンコーン内のクラス ω_A からなる代数的対 (A, ω_A) の鏡映性を定義すること。
• 鏡像対 (A, ω_A) と (B, ω_B) のコホロジー環の間の標準的同型を、ホッジ群と垂直代数的群作用を入れ替える形で確立すること。
• アーベル多様体の導来同値性が鏡映性の整合性を意味することを示し、鏡像対が同型を除いて有限個であることの証明。
• G-構成されたアーベル多様体の場合に、実部分トーラス上のラインバンドルのチャーン類を用いて鏡像同型を明示的に構成すること。

提案手法

• 複素化されたアーマンコーン $ C_A = C_A^+ \bigsqcup C_A^- \to NS_A(\mathbb{C}) $ を定義し、$ C_A^+ = NS_A(\mathbb{R}) + iC_A^a $ とおく。$ \omega_A \in C_A $ であれば、$ (A, \omega_A) $ を代数的対と呼ぶ。
• ホッジ群（特殊ムーディ・タイト群）を、$ H^*(A, \mathbb{Q}) $ 上のホッジ分解を保存する最小の $ \mathbb{Q} $-代数的部分群として定義する。
• 垂直群を、$ Auteq(D^b(A)) $ が $ H^*(A, \mathbb{Z}) $ に作用する像のザリスキ閉包として定義し、$ \overline{Spin(A)} $ と表記する。この群はホッジ群と可換である。
• 鏡像対 $ (A, \omega_A) $ と $ (B, \omega_B) $ に対して、ホッジ群と垂直群作用を入れ替える、標準的同型 $ \beta: H^*(A, \mathbb{Z}) \xrightarrow{\sim} H^*(B, \mathbb{Z}) $ を構成する。
• G-構成されたアーベル多様体の場合、$ \beta $ を $ A \times B $ の次元 $ 3n $ の実部分トーラス上のラインバンドルのチャーン類として表現する。ここで $ n = \dim A $ である。
• 代数的群の表現論と $ \mathrm{End}(A) \otimes \mathbb{R} $ 上の二次形式の正定値性を用いて、複素化されたアーマンコーン内での $ \mathrm{U}_{A,\mathbb{Q}}(\mathbb{R}) $-軌道の有限性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的対 $ (A, \omega_A) $ が鏡像対 $ (B, \omega_B) $ を持つのはいつか？
• RQ2 鏡映性はアーベル多様体の導来同値性とどのように関係しているか？
• RQ3 鏡像対称性同型 $ \beta $ はコホロジー環 $ H^*(A, \mathbb{Z}) $ 上でどのように作用するのか？ また、ホッジ構造と垂直構造を入れ替える仕組みは何か？
• RQ4 G-構成されたアーベル多様体のような自然なクラスの多様体に対して、鏡像同型を明示的に構成できるか？
• RQ5 $ \mathrm{U}_{A,\mathbb{Q}}(\mathbb{R}) $-軌道は複素化されたアーマンコーンで有限か？ そして、これと鏡像対の存在性とはどのように関係するか？

主な発見

• 一般のアーベル多様体 $ A $ と任意の $ \omega_A \in C_A $ に対して、代数的対 $ (A, \omega_A) $ は鏡像対 $ (B, \omega_B) $ を持つ。これは定理 9.6.3 で示された。
• 二つの代数的対 $ (B, \omega_B) $ と $ (C, \omega_C) $ が同じ $ (A, \omega_A) $ に対して鏡像対であれば、$ D^b(B) \simeq D^b(C) $ が三角カテゴリとして成り立つ。これは、鏡像相手が同型を除いて有限個であることを意味する（定理 9.2.6）。
• 鏡像対称性同型 $ \beta: H^*(A, \mathbb{Z}) \xrightarrow{\sim} H^*(B, \mathbb{Z}) $ は符号を除いて一意に存在し、ホッジ群と垂直群作用を入れ替える。また、$ \beta \otimes \mathbb{Q} $ は二つの構造を入れ替える（定理 9.3.3）。
• 楕円曲線の場合、$ \beta $ は $ H^1(A, \mathbb{Z}) \xrightarrow{\sim} H^0(B, \mathbb{Z}) \oplus H^2(B, \mathbb{Z}) $ およびその逆を誘導し、コホロジー次元における双対性を反映する。
• G-構成されたアーベル多様体の場合、鏡像同型 $ \beta $ は $ A \times B $ の次元 $ 3n $ の実部分トーラス上のラインバンドルのチャーン類として明示的に実現される。ここで $ n = \dim A $ である。
• $ \mathrm{U}_{A,\mathbb{Q}}(\mathbb{R}) $-軌道は $ NS_A(\mathbb{R}) + iNS_A(\mathbb{R})^+ $ 内で有限であり、これらは集合の連結成分と一致する（系 A.9）。