[論文レビュー] Mirror symmetry for Pfaffian Calabi-Yau 3-folds via conifold transitions

Grzegorz Kapustka|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、重み付き射影空間内のPfaffian Calabi-Yau3次元多様体と、トーリック多様体内の完全交差の間で、コンパクト化遷移を構成し、トーリック退化を介した鏡対称性の構成を可能にする。これにより、先行研究で予測された鏡の周期が確認され、ノード特異点のみをもつ候補鏡ファミリーが得られ、そのファミリー $ olimits_{25}$ に対する滑らかなCalabi-Yau3次元多様体への解消の予想が支持される。このファミリーは自己双対的なピカール–フックス方程式を示す。

ABSTRACT

In this note we construct conifold transitions between several Calabi-Yau threefolds given by Pfaffians in weighted projective spaces and Calabi-Yau threefolds appearing as complete intersections in toric varieties. We use the obtained results to predict mirrors following ideas of \cite{BCKS, Batsmalltoricdegen}. In particular we consider the family of Calabi--Yau threefolds of degree 25 in $\mathbb{P}^9$ obtained as a transverse intersection of two Grassmannians in their Plucker embeddings.

研究の動機と目的

• Pfaffian Calabi-Yau3次元多様体とトーリック多様体内の完全交差の間で、ファミリー $\mathcal{X}_5$, $\mathcal{X}_7$, $\mathcal{X}_{10}$, $\mathcal{X}_{13}$, および $\mathcal{X}_{25}$ のコンパクト化遷移を確立すること。
• [BCFKvS98, Bat04] の手法を用いて、鏡の構成を提供し、鏡ファミリーにおける複雑な特異点を回避すること。
• コンパクト化遷移とトーリック退化を用いて、$ olimits_{25}$ の鏡ファミリーの主周期を確認すること。これは [Rø00, Kan12] の意味での自己双対性を持つ。
• Fano多様体の小規模なトーリック退化を伴う交差として得られるCalabi-Yau3次元多様体に対し、コンパクト化遷移法を拡張すること。
• $ olimits_{25}$ に対して、$G(2,5)$ 上の $\mathcal{Q}^*(2)$ の零点集合への滑らかな退化を用いた代替的アプローチを提供し、将来のベクトルバンドル手法による研究を可能にする。

提案手法

• [Stu96] における $G(2,5)$ のトーリック退化を、重み付き射影空間内の $5\times5$ 斜交行列によって定義されるPfaffian多様体に適応する。
• コンパクト化遷移を用いて、Pfaffian Calabi-Yau3次元多様体とトーリック多様体内の完全交差を関連付け、Calabi-Yau条件を保持する。
• バチレフの公式 (3.1) を用い、退化した環境空間からのファン構造の成分に分解することで、鏡ファミリーの主周期を計算する。
• Magma のトーリックパッケージを用いたコンピュータ代数により、退化したトーリック多様体のファン、錐、交差格子を計算する。
• ドメイン上に滑らかなCalabi-Yau3次元多様体のファミリーを構成し、一般ファイバーが $ olimits_{25}$ に属し、中心ファイバーが $G(2,5)$ 上の $\mathcal{Q}^*(2)$ の切断の零点集合である。
• 計算された鏡の周期を [Kan12] の結果と比較することで結果を検証し、コンパクト化遷移およびプリジャルコフスキーの弱Landau-Ginzburgモデル手法の両方で一貫性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pfaffian Calabi-Yau3次元多様体とトーリック多様体内の完全交差の間で、コンパクト化遷移を構築できるか？
• RQ2 コンパクト化遷移法により、ノード特異点のみをもつ鏡ファミリーが得られ、それが滑らかなCalabi-Yau3次元多様体への解消を支持するか？
• RQ3 $\nolimits_{25}$ の鏡ファミリーの主周期は、そのピカール–フックス方程式が示唆するように自己双対的か？
• RQ4 Fano多様体の小規模なトーリック退化を伴う交差として得られる他のCalabi-Yau3次元多様体に対し、コンパクト化遷移法を一般化できるか？
• RQ5 $G(2,5)$ 上の $\mathcal{Q}^*(2)$ の零点集合への滑らかな退化は、$\nolimits_{25}$ のための有効な代替的鏡の構成を提供するか？

主な発見

• Pfaffianファミリー $\mathcal{X}_5$, $\mathcal{X}_7$, $\mathcal{X}_{10}$, $\mathcal{X}_{13}$, および $\mathcal{X}_{25}$ とトーリック多様体内の完全交差との間で、コンパクト化遷移が成功裏に構築された。
• $\nolimits_{25}$ の鏡ファミリーの主周期は、コンパクト化遷移を用いて計算され、[Kan12] で予測されたトロピカル化による周期と一致した。
• コンパクト化遷移を用いて構築された鏡ファミリーは、ノード特異点のみをもつ特異Calabi-Yau3次元多様体から成り、これらは滑らかなCalabi-Yau3次元多様体への解消が予想される。
• $\nolimits_{25}$ のピカール–フックス方程式は自己双対的であり、これは $G(2,5)$ の射影的自己双対性と関連し、鏡の周期計算により確認された。
• $G(2,5)$ 上の $\mathcal{Q}^*(2)$ の零点集合への滑らかな退化を用いた代替的構成が提供され、ベクトルバンドル手法による $\nolimits_{25}$ の研究の新たな道筋が得られた。
• 元のFano多様体が滑らかにできない場合でも、結果がプリジャルコフスキーの弱Landau-Ginzburgモデル手法と一貫していることから、手法の妥当性が裏付けられた。