[論文レビュー] Mirror symmetry, Tyurin degenerations and fibrations on Calabi-Yau manifolds

Charles F. Doran, Andrew Harder+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2016

Geometry and complex manifolds被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、Calabi-Yau多様体を、Tyurin退化を介して低次元のCalabi-Yau多様体のファイブレーションに結びつける、新しい鏡映性対応を提案する。Calabi-Yau多様体 $V$ が、2つのFano多様体 $X_1 \cup_Z X_2$ に退化するとき、$X_1$ と $X_2$ のLandau-Ginzburgモデルを貼り合わせることで得られる鏡 $W$ は、$Z$ に双対なCalabi-Yau $(d-1)$-foldのファイブレーションを持つ。また、$\chi(V) = (-1)^d \chi(W)$ が成り立ち、Fanoの鏡映性と古典的Calabi-Yau鏡映性を統合する枠組みを提供する。

ABSTRACT

We investigate a potential relationship between mirror symmetry for Calabi-Yau manifolds and the mirror duality between quasi-Fano varieties and Landau-Ginzburg models. More precisely, we show that if a Calabi-Yau admits a so-called Tyurin degeneration to a union of two Fano varieties, then one should be able to construct a mirror to that Calabi-Yau by gluing together the Landau-Ginzburg models of those two Fano varieties. We provide evidence for this correspondence in a number of different settings, including Batyrev-Borisov mirror symmetry for K3 surfaces and Calabi-Yau threefolds, Dolgachev-Nikulin mirror symmetry for K3 surfaces, and an explicit family of threefolds that are not realized as complete intersections in toric varieties.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau多様体の鏡映性と、準Fano多様体とLandau-Ginzburgモデルの鏡双対性との間の関係を探索すること。
• Fano多様体 $X_1$ と $X_2$ が、$Z$ に沿って貼り合わされたアンチCanonical超曲面を共有する形で、Calabi-Yau多様体 $V$ がTyurin退化を受ける場合に、その鏡 $W$ を構成すること。
• 鏡 $W$ が、$Z$ に双対なトポロジカルに鏡映的なCalabi-Yau $(d-1)$-foldのファイブレーションを持つこと、およびホッジ理論的不変量が一致することを示すこと。
• Batyrev-Borisov、Dolgachev-Nikulin、および非トーリックなCalabi-Yau3-foldの族を含む特別な場合において、カテゴリカル的および幾何学的証拠を提供すること。
• この対応に関して、$W$ の導来カテゴリカル圏におけるファイブレーションが、$V$ のTyurin退化に対応する非可換鏡双対であると予想すること。

提案手法

• Fano多様体 $X_1$ と $X_2$ のLandau-Ginzburgモデル $(Y_1, \mathsf{w}_1)$ と $(Y_2, \mathsf{w}_2)$ を、位相的に貼り合わせることで、$d$ 次元Calabi-Yau多様体 $V$ の鏡 $W$ を構成する。
• 得られた $W$ が、$(d-1)$ 次元Calabi-Yau多様体のファイブレーションであることを示し、それぞれが $Z = X_1 \cap X_2$ に双対であると予想される。
• $V$ と $W$ のオイラー特性の鏡関係 $\chi(V) = (-1)^d \chi(W)$ を検証し、その双対性が位相的に支持されることを示す。
• 反射的多面体のnef分割を用いて、K3表面およびCalabi-Yau3-foldにおけるBatyrev-Borisov鏡双対性におけるTyurin退化と対応するファイブレーションを実現する。
• ホモロジカル鏡双対性を適用し、$\pi: W \to \mathbb{P}^1$ 沿いの引き戻しを用いて、$\mathbf{D}^b(W)$ 上のカテゴリカルファイブレーションを導出し、そのファイバーが $(d-1)$-Calabi-Yauカテゴリであることを得る。
• Calabi-Yau3-fold族のモノドロミー分類を活用し、$h^{1,1}(W) = 1$ の場合に、非可換ファイブレーションの可能性を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau多様体 $V$ がTyurin退化を受ける場合、$V$ のFano多様体のLandau-Ginzburgモデルを貼り合わせることで、$V$ の鏡を構成できるか？
• RQ2 得られた鏡 $W$ は、退化の中心ファイバー $Z$ に双対なCalabi-Yau $(d-1)$-foldのファイブレーションを持つか？
• RQ3 $V$ のオイラー特性と $W$ のオイラー特性の間には、$\chi(V) = (-1)^d \chi(W)$ という関係があり、位相的鏡双対性を示唆するか？
• RQ4 導来カテゴリカル圏 $\mathbf{D}^b(W)$ は、$\mathbb{P}^1$ 上のカテゴリカルファイブレーションを備えており、そのファイバーが $Z$ のFukayaカテゴリに双対な $(d-1)$-Calabi-Yauカテゴリであるか？
• RQ5 $(4,4)$ または $(6,6)$ の重み付き射影空間内の完全交差として得られるCalabi-Yau3foldに対して、$h^{1,1}(W) = 1$ の場合、$W$ 上に非可換ファイブレーションが存在するか？

主な発見

• Tyurin退化により $X_1 \cup_Z X_2$ に退化するCalabi-Yau多様体 $V$ の鏡 $W$ は、$X_1$ と $X_2$ のLandau-Ginzburgモデルを貼り合わせることで構成でき、$Z$ に双対なCalabi-Yau $(d-1)$-foldのファイブレーションを持つ多様体が得られる。
• $V$ と $W$ のオイラー特性は、鏡関係 $\chi(V) = (-1)^d \chi(W)$ を満たし、その双対性が位相的に支持される。
• 3次元の場合、$W$ がCalabi-Yauであり、$Z$ が$W$ のファイブレーションの一般ファイバーとDolgachev-Nikulin鏡双対であるならば、$V$ と $W$ は位相的に鏡である。
• Batyrev-Borisov鏡双対性において、反射的多面体 $\Delta$ のnef分割は、$V$ のTyurin退化と、鏡 $W$ 上のファイブレーションを両方とも誘導し、ファイバーはCalabi-Yau $(d-1)$-foldである。
• $\mathbb{P}^5$ 内の$(3,3)$完全交差の場合、$W$ の導来カテゴリカル圏は、$\mathbb{P}^1$ 上のカテゴリカルファイブレーションを備えており、そのファイバーは2-Calabi-Yauカテゴリであり、立方体4次元多様体の導来カテゴリカルな直交和成分と同型である。
• 一般の立方体4次元多様体の超越的格子は、$Z$ のDolgachev-Nikulin双対格子と同型であり、非可換ファイブレーションがTyurin退化に対応する非可換鏡双対であるという予想を支持する。