[論文レビュー] Mirror Transform and String Theory

Cumrun Vafa|ArXiv.org|Mar 24, 1994

Computational Physics and Python Applications参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、弦理論におけるミラー対称性を高(genus)リーマン面へ拡張し、重力のKodaira-Spencer理論と結びつける。AモデルとBモデルのトポロジカル弦振幅を異なるカラビ＝ヤウ多様体にわたって統一する一般化されたミラー変換を提案し、コンpactified弦理論における高(genus)振幅を計算するためのより深い幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Some aspects of Mirror symmetry are reviewed, with an emphasis on more recent results extending mirror transform to higher genus Riemann surfaces and its relation to the Kodaira-Spencer theory of gravity (talk given in the Geometry and Topology Conference, April 93, Harvard, in honor of Raoul Bott)

研究の動機と目的

• 元のカラビ＝ヤウ3次元多様体双対性を超えて、高(genus)リーマン面へのミラー対称性を一般化すること。
• トポロジカル弦理論における高(genus)振幅を計算するための幾何学的・代数的枠組みを確立すること。
• ミラー変換をKodaira-Spencer理論の重力と結びつけ、ミラー対称性の場の理論的解釈を提供すること。
• 異なる複素構造にわたってAモデルとBモデルの振幅をミラー変換を用いて統一的に記述すること。
• Gromov-Witten不変量と高(genus)振幅をミラー対称性を通じて体系的に計算する方法を提供すること。

提案手法

• カラビ＝ヤウ多様体上の複素構造の変形を記述するためにKodaira-Spencer理論の重力を用いる。
• AモデルとBモデルのトポロジカル弦が鏡像対のカラビ＝ヤウ多様体上で双対的であるとみなすミラー変換を適用する。
• リーマン面のモジュライ空間とその相関関数を分析することで、ミラー写像を高(genus)に拡張する。
• BCOV（Bershadsky-Cecotti-Ooguri-Vafa）異常方程式を用いて、鏡像幾何における振幅を関連付ける。
• 正則異常方程式を用いて、低(genus)データから高(genus)振幅を再帰的に計算する。
• 特別な幾何とプリポテンシャルの概念を用いて、ホロモーフィック3形式の周期を用いてミラー写像を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弦理論において、ミラー対称性を生成0の段階から高(genus)リーマン面へどのように拡張できるか？
• RQ2 高(genus)振幅のためのミラー変換を定式化するにあたり、Kodaira-Spencer理論が果たす役割は何か？
• RQ3 異なる複素構造にわたって、一般化されたミラー変換下でAモデルとBモデルの振幅はどのように関係するか？
• RQ4 正則異常方程式を用いて、ミラー対称性を通じて高(genus)Gromov-Witten不変量を体系的に計算できるか？
• RQ5 モジュライ空間およびその退化を含めたリーマン面のモジュライ空間の観点から、ミラー写像の幾何的解釈は何か？

主な発見

• Kodaira-Spencer理論を高(genus)相関関数を含む形に拡張することで、ミラー変換が高(genus)に一般化された。
• 正則異常方程式がミラー写像と整合することが示され、高(genus)振幅の再帰的計算が可能になった。
• B側のプリポテンシャルは、A側のGromov-Witten不変量の生成関数と一致し、高(genus)でも成り立つ。
• ミラー写像はホロモーフィック3形式の周期から導かれ、高(genus)寄与を含む形に拡張された。
• Aモデルの振幅が、鏡像のBモデルのデータ（g-位の寄与を含む）を用いて計算できる統一された枠組みが提供された。
• この方法は、生成1および2の振幅について既知の結果を正確に再現し、従来のトポロジカル弦理論と整合性を保った。