[論文レビュー] Misiurewicz Points for Polynomial Maps and Transversality

Benjamin Hutz, Adam Towsley|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Mathematics and Applications参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、一般化された動的多項式を用いて、ユニクリティカルおよびバイクリティカルな三次多項式の臨界点が厳密に前周期的軌道を持つパラメータ（ミスィウレヴィッチ点）の明示的な代数的公式を提供する。これらのパrameterは、単純な根を持つ特別に構築された多項式の根であることが示され、複素数パラメータにおいて横断性が証明され、正標数における横断性の失敗は判別式と分岐を用いて分析される。

ABSTRACT

The behavior under iteration of the critical points of polynomial maps plays an essential role in understanding its dynamics. We study the special case where the forward orbits of the critical points are finite. Thurston's theorem tells us that fixing a particular critical portrait and degree leads to only finitely may possible polynomials (up to equivalence) and that, in many cases, their defining equations intersect transversely. We provide explicit algebraic formulae for the parameters where the critical points of the unicritical polynomials and bicritical cubic polynomials have a specified exact period. We pay particular attention to the parameters where the critical orbits are strictly preperiodic, called Misiurewicz points. Our main tool is the generalized dynatomic polynomial. We also study the discriminants of these polynomials to examine the failure of transversality in positive characteristic for unicritical polynomials.

研究の動機と目的

• 指定された臨界軌道の外観を持つすべての後期臨界的有限なユニクリティカルおよび三次バイクリティカル多項式を構成すること。
• 臨界点が正確な前周期的軌道を持つパラメータ（ミスィウレヴィッチ点）の明示的な代数的公式を提供すること。
• 複素数上でミスィウレヴィッチ集合の定義方程式の横断性を証明すること。
• 正標数 $ p>0 $ における横断性の失敗を、パラメータ多項式の判別式を用いて分析すること。
• 横断性の失敗が数体における分岐と動的マンイン＝マーファー問題にどのように関連するかを明らかにすること。

提案手法

• 過剰数え上げを補正するための正規化を施した、正確な周期 $(m,n)$ の点を特定する一般化された動的多項式 $ \Phi^{ ext{ast}}_{f,m,n}(z) $ を使用する。
• ユニクリティカル写像 $ f_{d,c}(z) = z^d + c $ に対して、正確な周期 $(m,n)$ を持つ臨界点 0 のミスィウレヴィッチパラメータを正確に表す多項式 $ G_d(m,n) $ を定義する。
• バイクリティカルな三次多項式 $ g_{a,v}(z) = z^3 - 3a^2z + (2a^3 + v) $ に対して、$ \pm a $ がそれぞれ正確な周期 $ (m_1,n_1) $ と $ (m_2,n_2) $ を持つパラメータを特定する多項式 $ T(m,n,z) $ を構成する。
• 包含除算を用いて正確な周期条件を満たすように、動的多項式の定義にモービウス関数 $ \mu $ を用いる。
• ミスィウレヴィッチ多項式の判別式を分析し、正標数における横断性の失敗が生じる素数 $ p>0 $ を特定する。
• 代数幾何学と数体論を用いて、$ G_d(m,n) $ の判別式の $ p $-進付値とその根によって生成される数体における分岐を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $ c $ の明示的な代数的公式は何か？ ただし、$ f_{d,c}(z) = z^d + c $ の臨界点 $ 0 $ が正確な前周期的軌道を周期 $ (m,n) $ で持つ場合。
• RQ2 バイクリティカルな三次多項式写像 $ g_{a,v}(z) $ に対して、指定された臨界軌道の外観を持つミスィウレヴィッチパラメータを正確に表す多項式をどのように構成できるか？
• RQ3 どの素数 $ p>0 $ において、ユニクリティカル多項式 $ z^d + c $ のパラメータ空間で横断性が失敗し、これはミスィウレヴィッチ多項式の判別式とどのように関係するか？
• RQ4 正標数における横断性の失敗と動的マンイン＝マーファー問題との関係は何か？
• RQ5 多項式 $ G_d(m,n) $ の根によって生成される数体における分岐は、その判別式に含まれる $ p $ のべきとどのように関係するか？

主な発見

• 多項式 $ G_d(m,n) $ は、$ \Phi^{ ext{ast}}_{f,m,n}(0) $ または $ \Phi^{ ext{ast}}_{f,0,n}(0)^{d-1} $ として定義され、その根として正確にミスィウレヴィッチパラメータ $ c $ を持ち、すべての根が単純である。
• ユニクリティカル族 $ z^d + c $ において、ミスィウレヴィッチパラメータは、補題 3.4 によって代数的整数であることが示された。
• 正確な周期 $ (m,n) $ を持つミスィウレヴィッチ点の数は、$ G_d(m,n) $ の次数から導かれる明示的な数え上げ公式によって与えられ、補題 3.3 に記載されている。
• 標数 $ p>0 $ において、横断性は $ G_d(m,n) $ の判別式を割る素数においてのみ失敗し、このような素数は動的系の周期的点に関する再定式化を用いて特徴づけられる。
• $ G_d(m,n) $ の判別式の $ p $-進付値は、その根によって生成される数体における $ p $ の分岐指数に一致し、代数幾何学と算術的力学を結びつける。
• バイクリティカルな三次族において、多様体 $ V(T(m_1,n_1,a), T(m_2,n_2,-a)) $ は、両方の臨界点 $ \pm a $ がそれぞれ指定された正確な周期 $ (m_1,n_1) $ と $ (m_2,n_2) $ を持つような $ (a,v) $-値を正確にパラメトライズする。ただし $ n_1 \neq n_2 $ または $ n_1 \nmid (m_1-1) $ かつ $ n_1 \nmid (m_2-1) $ を満たす場合に限る。