[論文レビュー] Missing digits and sums of two prime squares

Cihan Sabuncu|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2026

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ひとこと要約

この論文は、基数 g の固定の桁を欠く整数が、二つの素数の平方和として表せるかを円法とふるい技術を用いて解析し、漸近公式と二次モーメントの境界を得る。

ABSTRACT

We investigate integers whose base $g$ expansion omits a fixed digit and which can be represented as a sum of two prime squares. In the first part of the paper, we apply the Hardy--Littlewood circle method to obtain asymptotic formulas for weighted count of representations of such integers up to $g^k$ as $k o\infty$, where we weight by the von Mangoldt function. In this case, we also get an interesting bias depending on the fixed digit we are missing. In the second part, combining the circle method with sieve methods, we study the second moment of the corresponding unweighted counting function. This allows us to get a nontrivial lower bound for the cardinality of the set $$\{ n \leq g^k : n ext{ omits the digit } b ext{ in its base } g ext{ expansion and } n = p^2 + q^2 ext{ for some primes } p,q \}. $$

研究の動機と目的

• 基数 g の展開で固定の桁を欠く整数が、二つの素数の平方和として表されることを調べる。
• k が大きくなるときの重み付き表現数の漸近公式を、Hardy–Littlewood の円法を用いて得る。
• 円法を用いて欠 digit の表現の平均的挙動を探り、偏りに影響を与える局所因子を導出する。
• 欠 digit の和二つの素数のカウント関数の二次モーメント境界を確立し、欠 Digit-数のサイズの非自明な下界を得る。

提案手法

• 欠 Digit 集合 A を基数 g で定義し、A(X) を X = g^k までの切り捨てとして表現する。
• Hardy–Littlewood 円法を適用して、n ∈ A(X) に対して r_2(n) = ∑_{a^2+b^2=n} Λ(a)Λ(b) の和を調べる。
• 局所因子 S(b,g) = (g/(g−1))(1−ρ(b;g)/φ(g)^2) を用いて漸近公式を得、ρ(a;q) の役割を分析する。
• 主弧/副弧解析を用いて素数の平方の和を扱い、副弧での打ち消しを導く。
• 二次モーメント分析については、円法とふるい法を組み合わせて斜対角項の境界を抑え、r_*(n) を制御する。
• r_*(n)（素数の平方の表現の数）など関連する表現の漸近関係と境界を A(X) と結びつけて導く。
• 主弧の厚さによる制約と、複数欠 digit への一般化の可能性について論じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 欠 Digit 重み付き表現関数の A(X) 上の漸近的平均はどのようになるか。
• RQ2 局所因子 S(b,g) は基数 g で欠かれた桁 b を持つ表現数の平均にどのような影響を及ぼすか。
• RQ3 素数 p, q による n = p^2 + q^2 が n ∈ A かつ n ≤ X となる集合の二次モーメントとサイズについて何が言えるか。
• RQ4 欠 Digit の二つの素数の平方和の未加重カウント関数について非自明な下界を得られるか。
• RQ5 より多くの欠 Digit への拡張や r_1(n) および tilde{r_*}(n) のような関連表現関数への拡張は可能か。

主な発見

• 重み付き和 ∑_{n∈A(X)} r_2(n) の漸近公式が得られ、主項は S(b,g] と |A(X)| に比例し、べきくりり落とし誤差項を伴う。
• 局所因子 S(b,g) は桁欠陥のバイアスを捉え、g と欠字 b によって値が変化し、b の平均は 1 となる。
• 二次モーメント境界により、r_*(n)>0 を満たす n ∈ A(X) の異なる個数の上界が非自明になり、|A(X)| (log log X)^4 / log X のオーダーとなる。
• 重み付きの r_*(n) 総和と未加重計数を結ぶ系が、|A(X)|/(log X)^2 から |A(X)|/(log X)^3 の範囲で対数因子の影響とともに漸近する。
• 定理 1.7 は、n ∈ A(X) で p^2+q^2 として表せるものの数の上界と下界を与え、主項の挙動は期待通りとされるが、主弧解析の技術的障壁によりまだ証明されていない。
• Remark では偏りや複数欠 digit への一般化の可能性、関連表現問題との平行性を説明する。