[論文レビュー] Mittag-Leffler Functions and Their Applications

H. J. Haubold, A. M. Mathai+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2009

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 30被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、マイトラ・レフラー関数およびその一般化形態について包括的なサーベイを提供し、それらの数学的性質、積分表現、および分数階微積分、運動論的方程式、確率過程における応用を詳述している。本論文は、異常拡散、べき則行動、非指数的緩和を示す系のモデリングにおいて、これらの関数が果たす重要な役割を確立している。物理学、工学、応用数学の分野において顕著である。

ABSTRACT

Motivated essentially by the success of the applications of the Mittag-Leffler functions in many areas of science and engineering, the authors present in a unified manner, a detailed account or rather a brief survey of the Mittag- Leffler function, generalized Mittag-Leffler functions, Mittag-Leffler type functions, and their interesting and useful properties. Applications of Mittag-Leffler functions in certain areas of physical and applied sciences are also demonstrated. During the last two decades this function has come into prominence after about nine decades of its discovery by a Swedish mathematician G.M. Mittag-Leffler, due its vast potential of its applications in solving the problems of physical, biological, engineering and earth sciences etc. In this survey paper, nearly all types of Mittag-Leffler type functions existing in the literature are presented. An attempt is made to present nearly an exhaustive list of references concerning the Mittag-Leffler functions to make the reader familiar with the present trend of research in Mittag-Leffler type functions and their applications.

研究の動機と目的

• マイトラ・レフラー関数、一般化形態、およびそれらの性質について統合的かつ包括的な概要を提示すること。
• これらの関数が分数階微分方程式および積分方程式を解くうえでどのように有用であるかを示すこと。
• べき則行動および異常拡散を示す複雑系のモデリングにおけるマイトラ・レフラー関数の役割を強調すること。
• マイトラ・レフラー型関数に関する継続的で前向きな研究を支援するための包括的な参考文献リストを整備すること。
• マイトラ・レフラー関数とH関数、ラプラス変換などの特殊関数との関係を確立すること。

提案手法

• 一般化マイトラ・レフラー関数 $ E_{\beta,\rho}(z) = \textstyle\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{\Gamma(\beta + \alpha k)} $ を導出し、分析する。ただし $ \Re(\alpha) > 0 $、$ \Re(\beta) > 0 $ とする。
• マイトラ・レフラー関数の積分表現およびメリン＝バーンズ型積分を確立する。
• ラプラス変換およびフーリエ変換を用いて、分数階運動論的および拡散方程式の解を導出する。
• 解析接続および特殊関数論を用いて、マイトラ・レフラー関数の再帰的および漸近的展開を導出する。
• ラプラス変換 $ L_{x(t)}(\lambda) = (1 + \lambda^\alpha)^{-t} $、$ 0 < \alpha \leq 1 $ を用いて、マイトラ・レフラー確率過程を定義する。
• 一般化マイトラ・レフラー関数とH関数との関係を確立し、分数階反応拡散方程式の解法に応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マイトラ・レフラー関数は、物理系における指数関数的およびべき則的行動をどのように一般化するか？
• RQ2 一般化マイトラ・レフラー関数の主要な積分表現および変換表現は何か？
• RQ3 マイトラ・レフラー関数は、どのように分数階運動論的および拡散方程式を解くのに応用できるか？
• RQ4 マイトラ・レフラー関数は、重たい尾部およびべき則分布を示す増分を持つ確率過程を定義する際に果たす役割は何か？
• RQ5 一般化マイトラ・レフラー関数は、分数階微積分におけるH関数および他の特殊関数とどのように関係するか？

主な発見

• マイトラ・レフラー関数 $ E_\alpha(z) $ は、$ \rho = 1/\alpha $ の位数および $ \sigma = 1 $ のタイプを持つ整関数であり、分数階微分方程式への応用がある。
• 一般化マイトラ・レフラー関数 $ E_{\alpha,\beta}(z) $ は、分数階積分および微分方程式の解において自然に現れる。
• マイトラ・レフラー確率過程は、ラプラス変換 $ L_{x(t)}(\lambda) = (1 + \lambda^\alpha)^{-t} $ によって定義され、確率密度関数は $ f_{x(t)}(x) = x^{\alpha t - 1} E_{\alpha, \alpha t}^{(t)}(-x^\alpha) $ である。
• 時間分数階拡散方程式の解は、マイトラ・レフラー関数 $ E_\alpha(-\lambda t^\alpha) $ を用いて表現され、べき則的減衰を示す。
• 空間分数階拡散方程式はH関数を用いて解かれるが、その解は一般化マイトラ・レフラー関数を含む。
• 特徴関数 $ [1 + \delta |T'\Sigma T|^{\alpha/2}]^{-\beta} $ を持つベクトル・リニク分布は、マイトラ・レフラー関数から導出され、重たい尾部確率法則と関連づけられる。