[論文レビュー] Mixed connectivity of Cartesian graph products and bundles

Rija Erveš, Janez Žerovnik|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2010

Interconnection Networks and Systems参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、カルテシアングラフバンドルおよび積における混合接続性の統一的境界を確立し、ファイバーとベースのグラフがそれぞれ $(p_F, q_F)$-接続および $(p_B, q_B)$-接続である場合、バンドルが $(p_F + p_B, q_F + q_B)$-接続であり、かつ $q_F, q_B > 0$ のとき $(p_F + p_B + 1, q_F + q_B - 1)$-接続であることを証明する。これらの結果は、頂点および辺の故障を併存させる混合故障に一般化し、相互接続ネットワークの故障耐性分析を統一する。

ABSTRACT

Mixed connectivity is a generalization of vertex and edge connectivity. A graph is $(p,0)$-connected, $p>0$, if the graph remains connected after removal of any $p-1$ vertices. A graph is $(p,q)$-connected, $p\geq 0$, $q>0$, if it remains connected after removal of any $p$ vertices and any $q-1$ edges. Cartesian graph bundles are graphs that generalize both covering graphs and Cartesian graph products. It is shown that if graph $F$ is $(p_{F},q_{F})$-connected and graph $B$ is $(p_{B},q_{B})$-connected, then Cartesian graph bundle $G$ with fibre $F$ over the base graph $B$ is $(p_{F}+p_{B},q_{F}+q_{B})$-connected. Furthermore, if $q_{F},q_{B}>0$, then $G$ is also $(p_{F}+p_{B}+1,q_{F}+q_{B}-1)$-connected. Finally, let graphs $G_i, i=1,...,n,$ be $(p_i,q_i)$-connected and let $k$ be the number of graphs with $q_i>0$. The Cartesian graph product $G=G_1\Box G_2\Box ... \Box G_n$ is $(\sum p_i,\sum q_i)$-connected, and, for $ k\geq 1$, it is also $(\sum p_i+k-1,\sum q_i-k+1)$-connected.

研究の動機と目的

• 同時に頂点および辺の故障が発生する状況下での相互接続ネットワークの故障耐性を分析する統一的枠組みを構築すること。
• 古典的な頂点および辺接続性を混合接続性に一般化し、ノード障害およびリンク障害の両方に耐性のあるネットワークの分析を可能にすること。
• カルテシアングラフバンドルおよび積の混合接続性のタイトな境界を確立すること。これはハイパーキューブ、メッシュ、トーラスを一般化する。
• 混合故障モデル下での故障直径および接続性の証明を統一する理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 混合接続性を $(p, q)$-接続性として定義：頂点を最大 $p$ 個、辺を最大 $q-1$ 個削除してもグラフが接続性を保つこと。
• カルテシアングラフバンドルの構造を用いる。ここで、ベースグラフ $B$ の各頂点にはファイバー・グラフ $F$ のコピーが対応し、辺は $B$ および $F$ から持ち上げられる。
• ファイバー間およびベースパス上の接続性を分析することで、バンドル $G$ の混合接続性が少なくとも $(p_F + p_B, q_F + q_B)$ 以上であることを証明する。
• $q_F > 0$ および $q_B > 0$ のとき、パスの持ち上げおよび頂点に交わらないパスの議論を用いて、追加の接続性境界 $(p_F + p_B + 1, q_F + q_B - 1)$ を示す。
• 帰納法を用いて、$n$ 重のカルテシアン積のグラフ $G_1 \Box \cdots \Box G_n$ への結果の拡張を行う。
• エッジ重み付けおよび頂点重み付けの技術を用いて、ファイバーおよびベースパス内の故障要素を追跡し、少なくとも1本の故障のないパスが存在することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイバーとベースのグラフがそれぞれ $(p_F, q_F)$-接続および $(p_B, q_B)$-接続であるとき、カルテシアングラフバンドルの混合接続性は何か？
• RQ2 カルテシアングラフバンドルの接続性は、その成分の混合接続性の観点から境界づけられるか？
• RQ3 頂点および辺の両方の故障が存在する場合、頂点または辺のみの故障に対する境界よりも、より強い接続性境界が得られるか？
• RQ4 $n$ 個のグラフのカルテシアン積の混合接続性は、各因子の個々の混合接続性にどのように依存するか？
• RQ5 これらの結果は、相互接続ネットワークにおける高次元の故障耐性にも拡張可能か？

主な発見

• ファイバー $F$ が $(p_F, q_F)$-接続であり、ベース $B$ が $(p_B, q_B)$-接続であるならば、カルテシアングラフバンドル $G$ は $(p_F + p_B, q_F + q_B)$-接続である。
• $q_F > 0$ および $q_B > 0$ のとき、バンドル $G$ は $(p_F + p_B + 1, q_F + q_B - 1)$-接続であることも示され、混合故障下での耐性向上を示している。
• $n$ 重のカルテシアン積 $G = G_1 \Box \cdots \Box G_n$ に対して、各 $G_i$ が $(p_i, q_i)$-接続であるならば、積は $(\sum p_i, \sum q_i)$-接続である。
• $n$ 個のグラフのうち $k$ 個が $q_i > 0$ を満たすならば、積は $(\sum p_i + k - 1, \sum q_i - k + 1)$-接続であることも示され、より多くのグラフが辺障害耐性に寄与する場合の改善された接続性を反映している。
• これらの結果は、既知のカルテシアン積およびバンドルの頂点および辺接続性の境界を一般化し、単一の混合接続性モデルの下でそれらの分析を統一する。
• 証明は、ベースグラフからバンドルへのパスおよび辺の持ち上げに依存しており、与えられた故障制約下でも任意の2つのファイバー間で少なくとも1本の故障のないパスが存在することを保証する。