[論文レビュー] Mixed dispersion nonlinear Schr\"odinger equation in higher dimensions: theoretical analysis and numerical computations

Atanas Stefanov, G. A. Tsolias+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2022

Nonlinear Photonic Systems参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、焦点的バイハーモニック作用素と発散的ラプラシアン（等方的または非等方的）を有する高次元混合分散非線形シュレーディンガー方程式における基底状態解の存在およびスペクトル安定性を検討し、次元d=2に焦点を当てる。非線形性のべきpが立方未満の場合、解は安定である。pが立方と五次間の範囲では臨界閾値を超えると不安定化し、pがさらに上昇すると不安定性が持続する。安定性ウィンドウはpが増加するに従い狭まる。

ABSTRACT

In the present work we provide a characterization of the ground states of a higher-dimensional quadratic-quartic model of the nonlinear Schr{\"o}dinger class with a combination of a focusing biharmonic operator with either an isotropic or an anisotropic defocusing Laplacian operator (at the linear level) and power-law nonlinearity. Examining principally the prototypical example of dimension $d=2$, we find that instability arises beyond a certain threshold coefficient of the Laplacian between the cubic and quintic cases, while all solutions are stable for powers below the cubic. Above the quintic, and up to a critical nonlinearity exponent $p$, there exists a progressively narrowing range of stable frequencies. Finally, above the critical $p$ all solutions are unstable. The picture is rather similar in the anisotropic case, with the difference that even before the cubic case, the numerical computations suggest an interval of unstable frequencies. Our analysis generalizes the relevant observations for arbitrary combinations of Laplacian prefactor $b$ and nonlinearity power $p$.

研究の動機と目的

• 競合するバイハーモニック作用素とラプラシアン分散を有する高次元非線形シュレーディンガー方程式の基底状態を特徴づけること。
• 非線形性のべきpおよびラプラシアン係数bの関数として、これらの基底状態のスペクトル安定性を分析すること。
• 2次元空間において等方的（均一なラプラシアン）および非等方的（方向性ラプラシアン）分散のケースを比較すること。
• 理論的および数値的解析を、特にd=2において、bとpの任意の組み合わせにまで拡張すること。
• これらの結果が高次元系および高次分散の実験的実現に与える意味を検討すること。

提案手法

• 等方的および非等方的モデルを定式化：R^dにおける iu_t + ∆^2 u + b∆u - |u|^{p-1}u = 0 および iu_t + ∆^2 u + b∂_{x1}^2 u - |u|^{p-1}u = 0。
• 定常波アンザッツ u = e^{-iωt} Φ を用いて問題を定常楕円型方程式に還元し、等方的ケースでは ∆^2Φ + b∆Φ + ωΦ - |Φ|^{p-1}Φ = 0 を得る。非等方的ケースについても同様の式が得られる。
• 線形化系に基づく定義された演算子JおよびLを用いた固有値問題 J L v = μ v を用いてスペクトル安定性解析を実施。
• 特にp < 3およびp > 5の場合に、基底状態の存在および安定性について厳密な理論的解析を実施。
• d=2における広範な数値計算を実施し、pとbの両方のパラメータ空間における安定性領域をマップ。周波数対pの半対数プロットを用いる。
• 等方的および非等方的ケースを比較し、非等方的設定では立方非線形性未満でも不安定な周波数区間が存在することを指摘。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等方的ラプラシアン分散を有する高次元混合分散NLS方程式における基底状態の安定性挙動はいかなるものか？
• RQ2 等方的ケースにおいて、解の安定性は非線形性のべきpおよびラプラシアン係数bにどのように依存するか？
• RQ3 x1方向に限定された非等方的分散（非等方的）は、等方的ケースと比較して安定性の様相をどのように変化させるか？
• RQ4 すべての解が不安定化する臨界非線形性指数p_cは何か？この閾値はbに依存してどのように変化するか？
• RQ5 p > 5の場合に安定な周波数ウィンドウは存在するか？pが増加するに従い、そのウィンドウはどのように狭まるか？

主な発見

• 非線形性のべきp < 3の範囲では、ラプラシアン係数bにかかわらず、すべての解がスペクトル的に安定である。
• pが立方と五次の間（3 < p < 5）では、ラプラシアン係数bの臨界閾値を超えると不安定性が生じる。
• p > 5の範囲では、安定な周波数の範囲が徐々に狭まり、pが増加するに従い安定性ウィンドウが収縮する。
• 臨界非線形性指数p_cを超えると、bにかかわらずすべての解が不安定化する。
• 非等方的ケースでは、数値的結果からp < 3の範囲でも不安定な周波数区間が存在することが示唆され、これは等方的ケースには見られない特徴である。
• 非等方的モデルでは、線形極限（ω → 0.25）付近で分離可能な解構造を示し、y方向に一様なノードラインを持つ。