[論文レビュー] Mixed dynamics of 2-dimensional reversible maps with a symmetric couple of quadratic homoclinic tangencies

Amadeu Delshams, Marina Gonchenko+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、対称的な2次ホモクライン接合を有する2次元可逆写像を調査し、漸近的に安定・不安定・楕円型周期軌道が生じる無限個の分岐カスケードの存在を証明する。Melnikov型解析と正準形技法を用いて、可逆系におけるニューサウス現象を確立し、ホモクライン接合付近で多様な周期軌道の恒久的共存を示す。

ABSTRACT

We study dynamics and bifurcations of 2-dimensional reversible maps having a symmetric saddle fixed point with an asymmetric pair of nontransversal homoclinic orbits (a symmetric nontransversal homoclinic figure-8). We consider one-parameter families of reversible maps unfolding the initial homoclinic tangency and prove the existence of infinitely many sequences (cascades) of bifurcations related to the birth of asymptotically stable, unstable and elliptic periodic orbits.

研究の動機と目的

• 2次元可逆写像のダイナミクスと分岐を、対称的鞍点固定点および非横断的ホモクライン図8形を有するものとして分析すること。
• 1パラメータ族の可逆写像における、対称的2次ホモクライン接合の展開を調査すること。
• 安定・不安定・楕円型周期軌道の生成を伴う無限個の分岐カスケードの存在を確立すること。
• ホモクライン接合付近での異なるタイプの周期軌道の共存を示すことにより、ニューサウス現象を可逆力学系に拡張すること。
• Melnikov関数を用いて、時刻周期的可逆系における2次ホモクライン接合が発生する明示的パラメータ条件を提示すること。

提案手法

• 可積分系の可逆摂動におけるホモクライン接合を検出するためにMelnikov関数を用いる。
• 正準形理論を用いて、対称的ホモクライン図8形および接合の展開の局所的ダイナミクスを分析する。
• 特にGavrilov-Shilnikov分岐カスケード定理を用いたホモクライン接合の分岐理論を、可逆設定に適用する。
• 可逆性を保つ時刻周期的摂動を施した系（例：摂動付きDuffing方程式およびフィッシュ方程式）の明示的例を構成する。
• Melnikov関数の二重零点を解くことにより2次接合の条件を導出し、2次微分が消えないことを保証する。
• パラメータ依存摂動を用いて初期ホモクライン接合を展開し、混合ダイナミクスが支配する区間（ニューサウス区間）を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元可逆写像において、対称的2次ホモクライン接合が展開されるとき、どのような種類の分岐が生じるか？
• RQ2 可逆系におけるニューサウス現象は、異なる安定性タイプの周期軌道の共存という観点でどのように現れるか？
• RQ3 可逆2次元写像が2次ホモクライン接合を示す条件は何か？ また、Melnikov関数を用いてどのように同定できるか？
• RQ4 ホモクライン接合を有する可逆系において、安定・不安定・楕円型周期軌道の生成を伴う無限の分岐カスケードを厳密に確立できるか？
• RQ5 対称性は、可逆写像におけるホモクライン接合付近の混合ダイナミクスの形成と持続性にどのように寄与するか？

主な発見

• 1パラメータ族の2次元可逆写像において、対称的2次ホモクライン接合の展開に伴い、無限個の分岐カスケードが発生する。
• 系はニューサウス現象を示す：初期接合の任意の近傍に、異なるタイプの無限個の周期軌道の恒久的共存が存在する開集合が存在する。
• ω=3および特定のα,β関係を有するDuffing型系では、t₀=π/2で2次ホモクライン接合が発生し、M(t₀)=M′(t₀)=0およびM′′(t₀)≠0を満たす。
• ω₀=2、ω₁=6、t₀=π/4、βがαに対してβ = [(2⁴−1)sinh(2π)] / [3(6⁴−1)sinh(6π)] α で比例するフィッシュ方程式の例では、t₀=π/4で2次接合が達成される。
• Melnikov関数の解析により、1次および2次微分が同じ点で消え、かつ2次微分が非ゼロである場合に接合が2次的であることが確認される。
• 結果は、対称的ホモクライン接合を有する可逆系において、安定・不安定・楕円型周期軌道の生成を伴う混合ダイナミクスが一般に成立することを裏付けている。