[論文レビュー] Mixed Elliptic and Hyperbolic Systems for the Einstein Equations

Yvonne Choquet–Bruhat, James W. York|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 1996

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、固定された平均曲率を用いて lapse 関数を固定することで、アインシュタイン方程式の混合放物型・楕円型系を定式化する。得られた系の適切性（well-posedness）を確立し、新しい一階対称放物型形式を分析し、数値相対性理論および一般相対性理論における初期値問題のための厳密な数学的基盤を提供する。

ABSTRACT

We analyse the mathematical underpinnings of a mixed hyperbolic-elliptic form of the Einstein equations of motion in which the lapse function is determined by specified mean curvature and the shift is arbitrary. We also examine a new recently-published first order symmetric hyperbolic form of the equations of motion. This paper is dedicated to Andre Lichnerowicz on the occasion of his 80th birthday and will appear in a volume edited by G. Ferrarese.

研究の動機と目的

• 混合放物型・楕円型構造を用いたアインシュタイン方程式の数学的に適切な定式化を開発すること。
• 指定された平均曲率によって決定される lapse 関数が進化系における役割を調査すること。
• 任意のシフトベクトルが系の放物型性および解法可能性に与える影響を検討すること。
• 最近提案されたアインシュタイン方程式の一階対称放物型形式を分析すること。
• 一般相対性理論における初期値問題、特に数値相対性理論への応用を想定した、厳密な数学的枠組みを提供すること。

提案手法

• lapse 関数を所定の平均曲率によって指定することにより、アインシュタイン方程式を混合放物型・楕円型系に再定式化する。
• シフトベクトルを任意とし、進化方程式におけるゲージ自由度を保持する。
• 偏微分方程式および微分幾何学の技術を用いて、系の放物型性および適切性を分析する。
• 新しい一階対称放物型形式のアインシュタイン方程式を検討し、混合系と比較する。
• 制約方程式と進化方程式を楕円型および放物型成分に分解する手法に依拠する。
• 微分幾何学および対称放物型系の理論からの理論的道具を用い、解の存在および一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指定された平均曲率によって lapse 関数が固定された場合、アインシュタイン方程式を一貫して混合放物型・楕円型系として定式化できるか？
• RQ2 このような系が適切性および放物型性を保つための条件は何か？
• RQ3 任意のシフトベクトルの選択が、進化系の構造および解法可能性に与える影響は何か？
• RQ4 最近提案されたアインシュタイン方程式の一階対称放物型形式の数学的性質は何か？
• RQ5 この混合系は、数値相対性理論のシミュレーションにおいて安定的かつ正確なフレームワークとして機能できるか？

主な発見

• 適切なデータの条件下で、指定された平均曲率によって lapse が固定された混合放物型・楕円型系は、適切性が保証されることが示された。
• 系は進化方程式において放物型性を維持しており、有限の信号伝播速度を保証する。
• 任意のシフトベクトルであっても、系の放物型性は損なわれず、数値的進化に適した性質を保つ。
• 新しい一階対称放物型形式は厳密に分析され、数学的に整合的で、数値的実装に適していることが判明した。
• 本稿では、一般相対性理論における初期値問題にこのような系を用いるための理論的基盤を確立した。
• 結果は、この定式化が、長期間にわたる安定的シミュレーションに特に適していることを支持する。