[論文レビュー] Mixed formulation of physics-informed neural networks for thermo-mechanically coupled systems and heterogeneous domains

Ali Harandi, Ahmad Moeineddin+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2023

Model Reduction and Neural Networks参考文献 70被引用数 8

ひとこと要約

要約：本論文は、異種媒質における定常的な熱機械問題のための物理情報ニューラルネットワーク（PINN）の混合定式化を開発し、逐次訓練と結合訓練を比較し、硬制約とパラメトリック学習を導入して精度と効率を向上させる。

ABSTRACT

Physics-informed neural networks (PINNs) are a new tool for solving boundary value problems by defining loss functions of neural networks based on governing equations, boundary conditions, and initial conditions. Recent investigations have shown that when designing loss functions for many engineering problems, using first-order derivatives and combining equations from both strong and weak forms can lead to much better accuracy, especially when there are heterogeneity and variable jumps in the domain. This new approach is called the mixed formulation for PINNs, which takes ideas from the mixed finite element method. In this method, the PDE is reformulated as a system of equations where the primary unknowns are the fluxes or gradients of the solution, and the secondary unknowns are the solution itself. In this work, we propose applying the mixed formulation to solve multi-physical problems, specifically a stationary thermo-mechanically coupled system of equations. Additionally, we discuss both sequential and fully coupled unsupervised training and compare their accuracy and computational cost. To improve the accuracy of the network, we incorporate hard boundary constraints to ensure valid predictions. We then investigate how different optimizers and architectures affect accuracy and efficiency. Finally, we introduce a simple approach for parametric learning that is similar to transfer learning. This approach combines data and physics to address the limitations of PINNs regarding computational cost and improves the network's ability to predict the response of the system for unseen cases. The outcomes of this work will be useful for many other engineering applications where deep learning is employed on multiple coupled systems of equations for fast and reliable computations.

研究の動機と目的

• PINNを用いて異質材料特性を持つ熱弾性問題の解法を動機づけ、解決する。
• 一次微分と強・弱形式の組み合わせを用いる混合PINN定式化を導入する。
• 逐次と完全結合訓練戦略を、精度と計算コストの観点で比較する。
• 予測の妥当性と頑健性を向上させる硬境界制約を組み込む。
• 見知らぬ材料配置への一般化を高める軽量なパラメトリック学習法を提案する。

提案手法

• 空間的に変分的な弾性定数と熱特性を有する定常熱弾性問題を定式化し、対応する弱形式を導出する。
• 一次ネットワークと勾配/応力を別個のニューラルネットワークで予測する混合PINNアーキテクチャを採用する。
• 機械的・熱的場のエネルギー・保存方程式を組み合わせた物理ベースの損失項を定義し、境界損失・結合損失を含む。
• 二つの訓練戦略を実装する：逐次（熱損失と機械損失を交互に最小化）と結合（全損失を同時に最小化）。
• 必要量を計算するために一次微分のみを使用し、転移風パラメトリック学習と硬境界制約を導入して物理的妥当性を強制する。
• 硬制約と結合損失を取り入れ、予測された応力と熱流をそれぞれの材料定数と結びつけて鞍点問題を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる手法の標準PINNと比較して、一次微分を用いる混合PINN定式化は異質領域の熱機械結合問題の精度を向上させるか。
• RQ2 逐次と結合訓練戦略は、複数物理場PINNの精度と計算コストの点でどう異なるか。
• RQ3 硬境界制約とネットワークアーキテクチャが予測の物理的妥当性と頑健性に与える影響はどの程度か。
• RQ4 パラメトリック学習法（転移学習風）は未見の材料特性へ予測を拡張する際、計算コストを抑えられるか。

主な発見

• 混合PINNフレームワークを提案し、変位・温度とそれらに対応するフラックス/応力を専用サブネットで予測して結合熱弾性問題を解く。
• 逐次訓練と結合訓練の二つの訓練方式を実証し、それぞれの精度と計算のトレードオフを論じる。
• 一次形式と硬制約が、異質領域における収束と予測妥当性を改善することを示す。
• 見かけ上の計算コストを抑えつつ、未見材料配置へ一般化する単純なパラメトリック学習法を導入する。
• 材料の異質性（空間的に変化するE、ν、k、α）を、ネットワーク入力に材料パラメータを含めて扱い、配置を越えた学習を可能にすることを強調する。