[論文レビュー] Mixed Hodge structures and representations of fundamental groups of algebraic varieties

Louis-Clément Lefèvre|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、$L_∞$代数と混合Hodge図を用いて、複素代数的多様体の基本群の線型代数的群への表現の形式的局所環にファンクター的な混合Hodge構造を構成する。主な結果は、$X$ がコンパクトKählerであり、$ $ がHodge構造の極形式化変動のモノドロミーである、または $X$ が滑らかで準射影的であり、$ $ が有限像を持つとき、そのような構造が $$ または $$ 上に存在することである。重み0部分は、$ $ の共軛軌道の形式的局所環に対応する。

ABSTRACT

Given a complex variety $X$, a linear algebraic group $G$ and a representation $\ ho$ of the fundamental group $\\pi\\_1(X,x)$ into $G$, we develop a framework for constructing a functorial mixed Hodge structure on the formal local ring of the representation variety of $\\pi\\_1(X,x)$ into $G$ at $\ ho$ using mixed Hodgediagrams and methods of $L\\_\\infty$ algebras. We apply it in two geometric situations: either when $X$ is compact K{\\"a}hler and $\ ho$ is the monodromy of a variation of Hodge structure, or when $X$ is smooth quasi-projective and $\ ho$ has finite image.

研究の動機と目的

• 表現 $\rho$ の近傍における表現多様体 $\operatorname{Hom}(\pi_1(X,x),G)$ の形式的局所環 $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ にファンクター的な混合Hodge構造を構成すること。
• 導来変形理論の現代的ツールを用いて、Eyssidieux-Simpson（コンパクトKählerの場合）とKapovich-Millson（有限像、非コンパクトの場合）の先行研究を統一・一般化すること。
• $X$, $x$, および $ $ に関してファンクター的であり、かつ基本体 $$ 上の混合Hodge構造と整合する枠組みを提供すること。
• 特に、$\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ の重みフィルトレーションを明確にし、重み0部分が $ $ の共軛作用の軌道の形式的局所環に対応することを特定すること。

提案手法

• 評価写像 $\varepsilon_x: H^0(L) \to \mathfrak{g}$ のコーンを用いて、表現 $\rho$ の変形函手をモデル化するため、$L_\infty$代数と混合Hodge図のバー代数を用いる。
• 微分形式のDG Lie代数 $L$（$ $ に付随する平坦 $G$-束の随伴束値）に対して、混合Hodge複体の理論を適用し、乗法的構造と整合するように保証する。
• 写像 $\varepsilon_x$ のコーンに付随する $L_\infty$代数に混合Hodge図を構成し、$H^0(\mathscr{C}(L))^*$ に混合Hodge構造を誘導する。この空間は $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ に同一視される。
• デスパンプドコーン $D$ と商代数 $E$ の間の自然な準同型写像を用いて、変形函手の同型を確立し、軌道代数を重み0部分として同定する。
• プロ代表可能性定理を用いて、$H^0(\mathscr{C}(D))^*$ が軌道 $\Omega_\rho$ 上の形式的関数の代数に一致することを示し、写像 $p: \widehat{\mathcal{O}}_\rho \to H^0(\mathscr{C}(D))^*$ の核が軌道を定義するイデアル $$ であることを示す。
• 重みフィルトレーションが混合Hodge構造の準同型写像と厳密に整合することを示し、$\operatorname{Gr}^W_0(\widehat{\mathcal{O}}_\rho) \cong H^0(\mathscr{C}(D))^*$ が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線型代数的群 $G$ への $$ の表現のための表現多様体の形式的局所環 $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ にファンクター的な混合Hodge構造を構成できるか？
• RQ2 Eyssidieux-Simpson（コンパクトKähler多様体とモノドロミー表現）およびKapovich-Millson（滑らかで準射影的多様体と有限像表現）の構成を、単一の枠組みで統一できるか？
• RQ3 $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ の重みフィルトレーションと $ $ の共軛軌道との間の正確な関係は何か？
• RQ4 関連するDG Lie代数 $L$ のコホホロジー群を用いて、$\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ 上の混合Hodge構造を明示的に記述できるか？
• RQ5 非コンパクトな場合において、$\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ の有限型提示（形式的級数代数のイデアルによる商）が、混合Hodge構造を備えた形で回復可能か？

主な発見

• コンパクトKähler多様体 $X$ で $ $ がHodge構造の極形式化変動のモノドロミーであるとき、$\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ に混合Hodge構造が構成される。
• 滑らかで準射影的多様体 $X$ で $ $ が有限像を持つとき、$\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ に混合Hodge構造が構成され、Kapovich-Millsonの結果が混合Hodge構造に拡張される。
• $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ の重み0部分は、自然に $ $ の共軛軌道の形式的局所環に同型であり、$D$ の変形函手のコーンを介して同定される。
• この構成は $X$, $x$, $ $ に関してファンクター的であり、基本体 $$（$$ を含む）上で定義され、代数的構造と整合する混合Hodge構造を持つ。
• 解析的技法（Eyssidieux-Simpsonの方法）や、僅かに重み付き構造（Kapovich-Millsonの方法）に依存しない枠組みを提供する。代わりに $L_\infty$代数と混合Hodge図を用いる。
• $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ の重みフィルトレーションは、軌道代数への写像と厳密に整合し、$\operatorname{Gr}^W_0(\widehat{\mathcal{O}}_\rho)$ が正確に軌道 $\Omega_\rho$ 上の形式的関数の代数に一致することを確認する。