[論文レビュー] Mixed Hodge structures of configuration spaces

Ezra Getzler|ArXiv.org|Nov 1, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 63

ひとこと要約

本稿では、複素数体上の滑らかで射影的な多様体 $X$ に対する配置空間 $\Phi(X,n)$ の $\sigma_n$--equivariant Hodge 多項式を、対称関数と $\lambda$-環構造を用いて計算するフレームワークを開発する。主な結果は、$X$ のHodge多項式で表される $\SS_n$-equivariant Serre多項式 $\operatorname{\mathsf{e}}_\sigma(\mathsf{F}(X,n))$ の閉じた公式であり、これは $X = \mathbb{C}$ の場合の Lehrer-Solomon の公式を一般化し、Fulton-MacPherson のコンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}_{1,n}$ の $\SS_n$-equivariant Hodge 多項式の計算を可能にする。

ABSTRACT

The symmetric group S_n acts freely on the configuration space of n distinct points in a quasi-projective variety. In this paper, we study the induced action of the symmetric group S_n on the de Rham cohomology of this space, using mixed Hodge theory, combined with methods from the theory of symmetric functions. (We prove a motivic version of this as well.) As an application of our results, we calculate the S_n-equivariant Hodge polynomial of the Fulton-MacPherson compactification X[n] of the configuration space.

研究の動機と目的

• 複素数体上の滑らかで射影的な多様体 $X$ に対して、$n$ 個の順序付き点からなる配置空間 $\mathsf{F}(X,n)$ の $\SS_n$-equivariant Hodge 多項式を計算すること。
• Lehrer と Solomon の $\mathsf{F}(\mathbb{C},n)$ に対する公式を、Hodge理論的および対称関数的手法を用いて、任意の滑らかで射影的な $X$ に一般化すること。
• 得られた結果を、Fulton-MacPherson のコンパクト化 $\mathsf{F}(X,n)$ の $\SS_n$-equivariant Hodge 多項式の計算に応用すること、特に $X = \mathbb{P}^1$ の場合を含む。
• Saito の混合Hodgeモジュールを用いた相対理論の基盤を築き、後続論文で $\overline{\mathcal{M}}_{1,n}$ の $\SS_n$-equivariant Hodge 多項式の計算を可能にする。

提案手法

• 無限個の変数における $\lambda$-環と対称関数の理論を用いて、$\mathsf{F}(X,n)$ のequivariant Hodge構造を符号化する。
• equivariant Serre多項式の生成関数を扱うために、$\lambda$-環の完備化を導入する。
• カルーブィアン $\lambda$-環のGroーディック群に $\Phi_\lambda$-作用素を定義し、$\SS_n$-既約表現 $V_\lambda$ に対して $\operatorname{\mathsf{e}}(\mathsf{F}(X,n), V_\lambda)$ を表現する。
• カルーブィアン $\lambda$-環におけるPeter-Weyl定理を用いて、$\mathbb{C}$ 上での $\SS_n$-表現の完全可約性を保証し、コホモロジーの分解を可能にする。
• $\mathsf{F}(\mathbb{C}^k,n)$ 上の $G_k = \mathbb{C}^k \rtimes \mathbb{G}_m$-作用を用いて、射影的配置空間 $\overset{\circ}{\mathsf{P}}_k(n)$ を定義し、そのSerre多項式を torsor 公式により計算する。
• コンパクト化空間 $\mathsf{P}_k$ の層化と、$\operatorname{\mathsf{e}}(\mathsf{P}_k) = \bigl( h_1 - \operatorname{\mathsf{e}}(\overset{\circ}{\mathsf{P}}_k) \bigr)^{-1}$ のペリスミー下での関係を用いて、$\mathsf{FM}(X)$ の生成関数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の滑らかで射影的な多様体 $X$ に対して、配置空間 $\mathsf{F}(X,n)$ の $\SS_n$-equivariant Hodge 多項式をどのように計算できるか？
• RQ2 Lehrer-Solomon の公式 $\mathsf{F}(\mathbb{C},n)$ を任意の $X$ に一般化すると、どのような形になるか？
• RQ3 本フレームワークを用いて、Fulton-MacPherson のコンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}_{1,n}$ の $\SS_n$-equivariant Hodge 多項式をどのように計算できるか？
• RQ4 $\lambda$-環構造と対称関数は、配置空間のequivariant Hodgeデータを符号化するために果たす役割は何か？
• RQ5 $\mathsf{F}(\mathbb{C}^k,n)$ 上の $G_k$-作用は、どのように $\mathsf{P}_k$ と呼ばれるコンパクト化を導き、そのHodge多項式が $\mathsf{FM}(X,n)$ のequivariantコホモロジーを制御するか？

主な発見

• $\SS_n$-equivariant Serre多項式は、$\operatorname{\mathsf{e}}_\sigma(\mathsf{F}(X,n)) = \prod_{j=1}^\infty \alpha_j(X)\bigl(\alpha_j(X) - j\bigr)\cdots\bigl(\alpha_j(X) - (n_j-1)j\bigr)$ で与えられ、ここで $\alpha_j(X) = \sum_{d|j} \mu(j/d) \operatorname{\mathsf{e}}(X; u^d, v^d)$ である。
• 対称商 $\mathsf{F}(X,n)/\SS_n$ のequivariant Serre多項式は、$\sum_{n=0}^\infty x^n \operatorname{\mathsf{e}}(\mathsf{F}(X,n)/\SS_n) = \frac{\sigma_t(X)}{\sigma_{t^2}(X)} = \prod_{p,q} \Bigl(\frac{1 - t^2 u^p v^q}{1 - t u^p v^q}\Bigr)^{\chi(H_c^\bullet(X,\mathbb{C})^{p,q})}$ で与えられる。
• Fulton-MacPherson のコンパクト化 $X[n]$ の $\SS_n$-equivariant Hodge 多項式は、合成 $\operatorname{\mathsf{e}}(\operatorname{\mathsf{FM}}(X)) = \operatorname{\mathsf{e}}(\mathsf{F}(X)) \circ \operatorname{\mathsf{e}}(\mathsf{P}_k)$ を用いて計算され、ここで $\mathsf{P}_k$ は $\overset{\circ}{\mathsf{P}}_k(n)$ のコンパクト化である。
• $X = \mathbb{C}^k$ の場合、$\overset{\circ}{\mathsf{P}}_k(n)$ のSerre多項式は、$G_k$-作用のtorsor性質を用いて $\operatorname{\mathsf{e}}(\overset{\circ}{\mathsf{P}}_k(n)) = \frac{\operatorname{\mathsf{e}}(\mathsf{F}(\mathbb{C}^k,n), \SS_n)}{\mathsf{L}^k(\mathsf{L}-1)}$ で与えられる。
• $\mathsf{P}_k$ の生成関数は、ペリスミー下で $\operatorname{\mathsf{e}}(\mathsf{P}_k) = \bigl( h_1 - \operatorname{\mathsf{e}}(\overset{\circ}{\mathsf{P}}_k) \bigr)^{-1}$ であり、$\mathsf{L} = uv$ を含む明示的表現を持つ。
• 1次元の場合、$\overset{\circ}{\mathsf{P}}_1(n) \cong \mathcal{M}_{0,n+1}$ かつ $\mathsf{P}_1(n) \cong \overline{\mathcal{M}}_{0,n+1}$ であるため、本手法により $\overline{\mathcal{M}}_{0,n+1}$ の $\SS_{n+1}$-equivariant Hodge 多項式が計算可能であり、後続論文では $\overline{\mathcal{M}}_{1,n}$ への拡張がなされる。