[論文レビュー] Mixed integer programming for the resolution of GPS carrier phase ambiguities

Peiliang Xu, M. Elizabeth Cannon+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2010

GNSS positioning and interference参考文献 13被引用数 24

ひとこと要約

本論文は、GPSの整数位相アンビグアティを解消するための2つの混合整数プログラミング手法を提案する。1つは、最小対角ピボット選択を用いた非正確な1段階法であり、単純な丸め処理を改善する。もう1つは、問題を0-1線形整数プログラミングに再定式化する正確な手法である。主な貢献は、非一様変換によるアンビグアティの相関除去の形式的定式化であり、IUGG1995総会で初めて紹介されたソートドQR MIMOデコーダーの提示である。

ABSTRACT

This arXiv upload is to clarify that the now well-known sorted QR MIMO decoder was first presented in the 1995 IUGG General Assembly. We clearly go much further in the sense that we directly incorporated reduction into this one step, non-exact suboptimal integer solution. Except for these first few lines up to this point, this paper is an unaltered version of the paper presented at the IUGG1995 Assembly in Boulder. Ambiguity resolution of GPS carrier phase observables is crucial in high precision geodetic positioning and navigation applications. It consists of two aspects: estimating the integer ambiguities in the mixed integer observation model and examining whether they are sufficiently accurate to be fixed as known nonrandom integers. We shall discuss the first point in this paper from the point of view of integer programming. A one-step nonexact approach is proposed by employing minimum diagonal pivoting Gaussian decompositions, which may be thought of as an improvement of the simple rounding-off method, since the weights and correlations of the floating-estimated ambiguities are fully taken into account. The second approach is to reformulate the mixed integer least squares problem into the standard 0-1 linear integer programming model, which can then be solved by using, for instance, the practically robust and efficient simplex algorithm for linear integer programming. It is exact, if proper bounds for the ambiguities are given. Theoretical results on decorrelation by unimodular transformation are given in the form of a theorem.

研究の動機と目的

• 高精度GPS定位およびナビゲーションにおける整数位相アンビグアティの解消という重要な課題に取り組む。
• 浮動小数点推定アンビグアティの重みおよび相関情報を完全に組み込むことで、ヒューリスティックな丸め手法を改善する。
• 適切な境界を用いることで、0-1線形整数プログラミングに再定式化することにより、理論的根拠に基づいた正確な解法を提供する。
• Teunissenの研究を拡張し、アンビグアティの相関除去を実現するユニモジュラー変換の数学的基盤を確立する。
• アンビグアティ解消のための非反復的かつ1段階的な新規手法として、ソートドQR MIMOデコーダーを提示する。

提案手法

• 理論的証明に基づき、浮動小数点推定アンビグアティの相関を除去するユニモジュラー整数変換を適用する。
• 変換されたアンビグアティ共分散行列に最小対角ピボット選択を用いたガウスの消去法を適用し、重みが高く相関が低いアンビグアティを優先する。
• 変換された実数値アンビグアティを直接丸めることで、対角成分の重み選択により誤った選択をペナルティ化する1段階非正確法を提案する。
• 整数最小二乗問題を変換行列と目的関数を用いて0-1二次整数プログラミングモデルに再定式化する。
• 2次項 $ b_i b_j $ を置き換えるために2値変数を導入することで、0-1二次計画問題を標準的な0-1線形整数プログラミングモデルに線形化する。
• 最終的な0-1線形整数プログラミング問題は、標準的なアルゴリズムで解き、適切な境界が与えられれば正確な解が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重みおよびアンビグアティの相関情報を考慮する1段階非正確法が、GPSアンビグアティ解消において単純な丸め処理を上回るか。
• RQ2 ユニモジュラー変換がどれほどアンビグアティの相関を低下させ、整数最小二乗推定の精度を向上させられるか。
• RQ3 適切な境界を用いることで、混合整数最小二乗問題を正確に0-1線形整数プログラミング問題に再定式化できるか。
• RQ4 提案された最小対角ピボット選択戦略は、反復的探索手法と比較して計算効率および解の品質の点で優れているか。
• RQ5 GPSアンビグアティ解消の文脈において、相関除去を実現するユニモジュラー変換の存在が理論的にどのように裏付けられるか。

主な発見

• 最小対角ピボット選択を用いた1段階非正確法は、反復処理を伴わず、重みおよび相関情報の完全な組み込みにより、単純な丸め処理を改善する。
• 理論的証明により、浮動小数点推定アンビグアティの相関を除去するユニモジュラー変換が存在することを確認し、Teunissenの1994年の研究を拡張する。
• 0-1線形整数プログラミングへの再定式化により、適切な境界が与えられればアンビグアティ解消問題の正確な解が得られる。
• 0-1線形プログラミングモデルの目的関数は、変換後の残差二乗和を最小化するものと等価であり、定数項は省略されている。
• 線形化技術により、2次項 $ b_i b_j $ が2値変数 $ v_k $ に置き換えられ、問題が標準的な0-1整数プログラミング形式を保ったままとなる。
• 本論文は、ソートドQR MIMOデコーダーがIUGG1995総会で初めて紹介されたことを確立し、GPSアンビグアティ解消分野における基盤的出来事であると示している。