[論文レビュー] Mixed-integer Quadratic Programming is in NP

Alberto Del Pia, Santanu S. Dey+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、混合整数二次計画法（MIQP）の意思決定問題がNPに属することを証明している。これは、1つの二次不等式を含む任意の妥当なMIQPインスタンスが、入力の複雑さに対して多項式的に有界なサイズの解を有することを示すことによって達成される。これにより、MIQPがNP完全であることが確立され、二次計画法と整数線形計画法がNPに属することを示す古典的結果が統合される。

ABSTRACT

Mixed-integer quadratic programming is the problem of optimizing a quadratic function over points in a polyhedral set where some of the components are restricted to be integral. In this paper, we prove that the decision version of mixed-integer quadratic programming is in NP, thereby showing that it is NP-complete. This is established by showing that if the decision version of mixed-integer quadratic programming is feasible, then there exists a solution of polynomial size. This result generalizes and unifies classical results that quadratic programming is in NP and integer linear programming is in NP.

研究の動機と目的

• 混合整数二次計画法（MIQP）の意思決定問題がNPに属することを確立すること。
• 二次計画法と整数線形計画法がNPに属することを示す先行結果を一般化・統合すること。
• 1つの二次制約を持つMIQPの妥当解が、多項式的有界な符号化長を持つことを示すこと。
• 妥当なインスタンスに対して多項式サイズの証明書が存在することから、MIQPのNP完全性が導かれることが示されること。
• より一般的な設定下で決定不能または指数的に大きな解を有するケースと対比させることで、結果のタイトさを明確にすること。

提案手法

• 解集合の多面体的および円錐的成分への幾何的分解を用いて、解構造を分析する。
• 正規化された超平面と円錐包の分析を適用し、有理数の小規模な複雑さに基づく有界な解のノルムを導出する。
• 多面体と有理数の円錐の交差における解のノルムに対する多項式時間で計算可能な上界を用いる。
• 先行研究からの定理3を適用して、有界な妥当領域から小規模な複雑さの解を抽出する。
• 極値線の方向における二次項および一次項の符号に基づくケース解析を用いて、小規模なサイズの妥当解を構築する。
• 「F-小規模複雑さ」の概念を適用し、すべての導出された境界および中間対象（例：ノルム、係数）が入力サイズに対して多項式的に有界であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの二次不等式を含むすべての妥当な混合整数二次計画法インスタンスは、多項式的に有界なサイズの解を有するか？
• RQ2 MIQPの意思決定問題は多項式時間で検証可能であり、NPに属するか？
• RQ3 1つの二次制約が、複数または一般の二次制約を含む系と比較して、最小の妥当解のサイズにどのように影響するか？
• RQ4 入力データの複雑さと、MIQPにおける最小の符号化長の妥当解との間にどのような関係があるか？
• RQ5 MIQPのNP完全性は、二次制約の数に関してタイトか？ また、この数が増加するとどうなるか？

主な発見

• 妥当なMIQPインスタンスは、すべて少なくとも1つの解を有し、そのビット複雑さが入力複雑さに対して多項式的に有界であるため、MIQPの意思決定問題はNPに属する。
• 妥当なMIQPインスタンスに対して多項式サイズの証明書が存在することから、MIQPがNP完全であることが示され、すでにNP困難であることが知られていることと整合する。
• 本結果は、二次計画法と整数線形計画法がNPに属することを示す先行結果を一般化・統合する。
• 解のサイズの境界はタイトである：複数の二次不等式を含む系や特定のペル型方程式は、指数的サイズの解を有することがあり、1つの二次制約の仮定が不可欠であることを示している。
• 1つの二次不等式と混合整数変数を含む系において、任意の妥当解のノルムは、F-小規模複雑さの有理数で有界であり、多項式サイズの証明書が保証される。
• 極値円錐の方向における勾配の符号に基づくケース解析を用いて、小規模な複雑さの妥当解が構築され、符号化長が有界であることが保証される。