[論文レビュー] Mixed Markov-Perfect Equilibria in the Continuous-Time War of Attrition

Jean‐Paul Décamps, Fabien Gensbittel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2024

Game Theory and Applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、線形拡散過程を伴う連続時間の消耗戦ゲームにおける混合戦略のマルコフ完璧均衡の存在を確立する。マーキョフ的確率的停止時刻の空間をコンパクトな絶対リトラクトとして位相化することで、著者たちはエイレンバーグ＝モンゴメリーの不動点定理を適用し、存在を証明する。これは、純粋戦略の均衡が存在しない場合に混合戦略が不可欠であることを示している。

ABSTRACT

We prove the existence of a Markov-perfect equilibrium in randomized stopping times for a model of the war of attrition in which the underlying state variable follows a homogenous linear diffusion. The proof uses the fact that the space of Markovian randomized stopping times can be topologized as a compact absolute retract, which in turn enables us to use a powerful fixed-point theorem by Eilenberg and Montgomery. We illustrate our results with an example of a war of attrition that admits a mixed-strategy Markov-perfect equilibrium but no pure-strategy Markov-perfect equilibrium.

研究の動機と目的

• 線形拡散過程を伴う連続時間停止ゲームにおけるマルコフ完璧均衡の存在を確立すること。
• 一般条件下で純粋戦略のマルコフ完璧均衡が失敗する場合に、それを混合戦略に拡張することで解決すること。
• 確率的ゲームにおけるマーキョフ的確率的停止時刻の分析のための位相的枠組みを構築すること。
• マーキョフ的確率的停止時刻の空間が、不動点議論を可能にするコンパクトな絶対リトラクトであることを証明すること。
• 純粋戦略が均衡を生まない場合に、混合戦略が不可欠であることを示すこと。

提案手法

• 曇乱収束および爆発集合から導かれる位相を用いて、マーキョフ的確率的停止時刻の空間を位相化すること。
• 各マーキョフ的確率的停止時刻を、閉止集合 S と I\S 上の局所有限強度測度 µ のペア (µ, S) として表現すること。
• このような戦略の空間を、I 上の非負の正規ボレル測度の集合 M(I) に同定すること。M(I) は局所有限でない可能性がある。
• I の断片的収束集合上で弱収束を用いた対角抽出により収束部分列を構成することで、M(I) がコンパクトな絶対リトラクトであることを証明すること。
• M(I) 上の対応にエイレンバーグ＝モンゴメリーの不動点定理を適用し、そのコンパクト性と凸性の性質を活用すること。
• 局所時間と強度測度の積分を用いた条件付き生存関数の表現を用いて、均衡戦略を特徴づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形拡散過程を伴う連続時間の消耗戦ゲームにおいて、混合戦略のマルコフ完璧均衡は存在するか？
• RQ2 どのような条件下で、純粋戦略のマルコフ完璧均衡が存在しなくなるか？
• RQ3 固定点議論を支援するように、マーキョフ的確率的停止時刻の空間を位相化できるか？
• RQ4 提案された位相のもとで、マーキョフ的確率的停止時刻の集合はコンパクトな絶対リトラクトか？
• RQ5 混合戦略は、特定の消耗戦モデルにおいて純粋戦略のマルコフ完璧均衡が存在しない問題をどのように解決するか？

主な発見

• 所定の仮定のもとで、任意の線形ブラウン運動消耗戦（lBwa）において、混合戦略のマルコフ完璧均衡が存在する。
• マーキョフ的確率的停止時刻の空間は、コンパクトな絶対リトラクトとして位相化可能であり、これにより不動点定理の適用が可能になる。
• 割引報酬の下で超 martingale 条件などの追加仮定がない限り、純粋戦略のマルコフ完璧均衡の存在は保証されない。
• 純粋ナッシュ均衡が存在する場合でさえも、純粋戦略のマルコフ完璧均衡が存在しないことを示す反例が提示されている。
• M(I) 上の位相により、測度の収束が局所時間および強度測度を介して生存関数の収束に対応することが保証される。
• エイレンバーグ＝モンゴメリーの不動点定理が、M(I) 上の対応に成功裏に適用され、均衡の存在が得られた。