[論文レビュー] Mixed State Geometric Phase from Thomas Rotations

Péter Lévay|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2×2密度行列に対するUhlmannの混合状態幾何学的位相と相対論的運動論におけるThomas歳差の幾何的関係を確立する。Uhlmannの純化の平行移動が、双曲幾何のPoincaré球モデルにおける双曲的平行移動に関して不変な、Thomas回転の経路順序積に等価であることを示し、Bures忠実度を用いた測地三角形の混合状態幾何学的位相の一般式を導出。純粋状態極限では、既知の立体角結果が回復される。

ABSTRACT

It is shown that Uhlmann's parallel transport of purifications along a path of mixed states represented by $2 imes 2$ density matrices is just the path ordered product of Thomas rotations. These rotations are invariant under hyperbolic translations inside the Bloch sphere that can be regarded as the Poincaré ball model of hyperbolic geometry. A general expression for the mixed state geometric phase for an {\it arbitrary} geodesic triangle in terms of the Bures fidelities is derived. The formula gives back the solid angle result well-known from studies of the pure state geometric phase. It is also shown that this mixed state anholonomy can be reinterpreted as the pure state non-Abelian anholonomy of entangled states living in a suitable restriction of the quaternionic Hopf bundle. In this picture Uhlmann's parallel transport is just Pancharatnam transport of quaternionic spinors.

研究の動機と目的

• 2×2密度行列に対するUhlmannの混合状態非アーベル位相の幾何的解釈を相対論的運動論を用いて確立すること。
• Uhlmannの純化の平行移動が、双曲幾何に由来する一連のThomas回転に相当することを示すこと。
• Bloch球において任意の測地三角形に沿う混合状態幾何学的位相の一般式をBures忠実度を用いて導出すること。
• 混合状態の非アーベル位相を、エンタングル状態のクaternion的ヒルベルト空間における非アーベル幾何学的位相として再解釈すること。
• 先行研究（参考文献[10]）における純粋状態極限における幾何学的位相の誤りを是正すること。

提案手法

• Bloch球を双曲幾何のPoincaré球モデルとしてモデル化するため、2×2密度行列を双曲座標でパrametrizeすること。
• Thomas回転を2つのローレンツブースト（双曲的回転）の合成として定義し、純化の平行移動を表すこと。
• Thomas回転がPoincaréモデルの等長変換と関連する双曲的平行移動に関して不変であることを確立すること。
• Uhlmannの接続から導かれる遷移行列Y_{st}の経路順序積を用いて、ホロノミーを細分の極限として表現すること。
• ホロノミー行列のトレースの偏角として幾何学的位相を導出し、その可視性をこのトレースの絶対値で与えること。
• 純化空間をクォータニオン的ヒルベルト空間として再解釈し、Uhlmannの平行移動をクォータニオン的スピンオブジェクトにおけるPancharatnam型移動に一致させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2×2密度行列に対するUhlmannの純化の平行移動は、相対論的運動論の観点からどのように幾何学的に解釈できるか？
• RQ2 qubit系における混合状態幾何学的位相を記述する上でのThomas回転の役割は何か？
• RQ3 測地三角形に沿う混合状態幾何学的位相は、純粋状態極限において立体角公式とどのように関係するか？
• RQ4 混合状態の非アーベル位相は、エンタングル状態を含む2キュービット系におけるクォータニオン的ヒルベルト空間内での非アーベルPancharatnam型位相として再定式化可能か？
• RQ5 双曲幾何および双曲的平行移動に関する不変性は、Uhlmannの接続の文脈でどのような意義を持つのか？

主な発見

• Thomas回転の経路順序積が、2×2密度行列に対するUhlmannの純化の平行移動を完全に記述する。
• Thomas回転はPoincaré球モデルにおいて双曲的平行移動に関して不変であり、幾何学的位相が双曲空間の等長変換に関連することを示す。
• 任意の測地三角形に対する混合状態幾何学的位相の一般式が、式(35)で与えられるBures忠実度を用いて導出された。
• 純粋状態極限では、導出された式は既知の幾何学的位相の立体角則に還元される。
• 幾何学的位相の可視性は、式(41)で与えられるホロノミー行列のトレースの絶対値として表される。
• 混合状態の非アーベル位相は、エンタングル状態を含むクォータニオン的ヒルベルト空間内での非アーベルPancharatnam型位相として再解釈可能であり、位相条件⟨p|q⟩が実かつ正であることが条件となる。