[論文レビュー] Mixed variational approach to finding guaranteed estimates from solutions and right-hand sides of the second-order linear elliptic equations under incomplete data

Yuri Podlipenko, Yury Shestopalov|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、解と右辺が与えられた2階線形楕円型方程式の不完全なデータ下で、線形汎関数の保証付き（ミニマックス）推定を計算するための混合変分法を提案する。ここで、解とノイズの有界集合しか入手できない。この手法は、混合変分方程式に従う最適制御問題として推定を定式化し、最適推定値と推定誤差がこれらの方程式の解を用いて明示的に表現できることを証明する。また、ガラーキン近似の収束性も確立する。

ABSTRACT

We investigate the problem of guaranteed estimation of values of linear continuous functionals defined on solutions to mixed variational equations generated by linear elliptic problems from indirect noisy observations of these solutions. We assume that right-hand sides of the equations, as well as the second moments of noises in observations are not known; the only available information is that they belong to given bounded sets in the appropriate functional spaces. We look for linear with respect to observations optimal estimates of solutions of aforementioned equations called minimax or guaranteed estimates. We develop constructive methods for finding these estimates and estimation errors which are expressed in terms of solutions to special mixed variational equations and prove that Galerkin approximations of the obtained variational equations converge to their exact solutions. We study also the problem of guaranteed estimation of right-hand sides of mixed variational equations.

研究の動機と目的

• 解とノイズの有界集合しか入手できない状況下で、2階線形楕円型方程式の解から線形汎関数の構成的保証付き（ミニマックス）推定法を開発すること。
• 物理的意味を持つ量（フラックスや勾配）の推定に不可欠な混合変分形式への既存のミニマックス推定理論の拡張。
• 導かれる混合変分系の解の一意存在性を確立し、ガラーキン近似がその正確解に収束することを証明すること。
• 保証付き推定値と推定誤差の明示的表現を、これらの混合変分方程式の解を用いて導出すること。

提案手法

• 制御が観測作用素、状態が変分系の解である混合変分方程式に従う最適制御問題として推定問題を定式化する。
• 解と補助変数（例：フラックスや勾配）を同時に決定する混合変分形式を導入し、物理的意味を持つ重要な量を推定に用いる。
• 鞍点問題を介して最適性の必要十分条件を導出し、標準的なインフラ・インフィムム条件の下で一意解を持つ混合変分方程式系を得る。
• ガラーキン法を用いて混合変分方程式の近似解を構成し、適切なノルムにおいて正確解に収束することを証明する。
• リース表現定理と双対性理論を用いて、推定値と誤差を双対混合変分問題の解を用いて表現する。
• ミニマックス推定問題と観測空間上の制約付き最適化問題との等価性を確立し、有限要素法による数値計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解とノイズの有界集合しか入手できない状況で、2階線形楕円型方程式の解から線形汎関数の保証付き推定値をどのように計算できるか。
• RQ2 不完全なデータ下で、混合変分形式を用いて保証付き推定値と推定誤差の明示的表現を導出できるか。
• RQ3 混合変分方程式の解を求めるガラーキン近似の収束性はどのように振る舞うか。
• RQ4 未知の右辺項の推定を、同じ変分枠組みを用いてどのように定式化し、解くことができるか。
• RQ5 ミニマックス推定問題と混合変分方程式に従う最適制御問題との関係は何か。

主な発見

• 線形汎関数の保証付き推定値は、標準的なインフラ・インフィムム条件の下で一意に解ける混合変分方程式系の解を用いて明示的に表現できる。
• 推定誤差は双対混合変分問題の解のノルムとして与えられ、最悪ケースの平均二乗誤差の計算可能な上界を提供する。
• 混合変分方程式のガラーキン近似はエネルギーノルムにおいて正確解に収束し、数値的信頼性を保証する。
• 解からのミニマックス推定値は、混合変分系に従う最適制御問題を解くことと等価であり、コスト関数にはノイズとデータの共分散構造が含まれる。
• 積分型観測作用素の場合は、ミニマックス推定値が観測値の線形汎関数として表れ、係数は双対混合変分問題の解によって決定される。
• Nakonechnyの先行研究を一般化し、フレームワークを混合変分形式に拡張することで、物理的意味を持つフラックス、勾配、源項の推定が可能になった。