[論文レビュー] Mixed Virtual Element Methods for general second order elliptic problems on polygonal meshes

L. Beirão da Veiga, Franco Brezzi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 48被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、多角形メッシュ上での変数係数を伴う一般の2階楕円問題に対して、非定数係数を扱うために体系的なL²射影作用素を用いた混合仮想有限要素法（Mixed Virtual Element Method, VEM）を提案する。この手法は最適収束率を達成し、歪められたメッシュや多角形メッシュ（ボロノイ分割や非凸要素を含む）においても安定した性能を示す。

ABSTRACT

In the present paper we introduce a Virtual Element Method (VEM) for the approximate solution of general linear second order elliptic problems in mixed form, allowing for variable coefficients. We derive a theoretical convergence analysis of the method and develop a set of numerical tests on a benchmark problem with known solution.

研究の動機と目的

• 従来の三角形分割よりも柔軟性に優れる多角形メッシュを用いて、一般の2階楕円問題に変数係数を伴う場合の解法の課題に対処すること。
• 非定数係数が存在する場合でも最適収束率を維持する仮想有限要素法の混合型式を構築すること。
• 非凸やボロノイ型メッシュを含む、極めて歪められた多角形要素に対しても安定性と精度を確保すること。
• 既知の解を持つベンチマーク問題を用いた理論的収束解析と数値的検証を提供すること。
• 凹型や重心ボロノイ分割を含む多様なメッシュタイプでのテストを通じて、手法の頑健性を示すこと。

提案手法

• フラックスと圧力変数を含む弱形式を用いて混合問題を定式化し、双線形形式を多角形要素上で定義する。
• 仮想有限要素空間における形状関数が明示的に与えられない場合の安定化を図るため、多項式空間へのL²射影作用素を用いる。
• 安定化項を内部自由度を含まず、境界自由度のみに依存させる。これにより計算コストを低減する。
• 局所的射影と要素境界およびモーメントに関連する自由度に基づいて、離散変分形式を構築する。
• 正確なフラックスが要素内では計算できないため、数値フラックスを$\mathbb{P}_k^2$上にL²射影することで誤差評価を行う。
• 射影に基づく安定化を用いる体系的アプローチにより、変数係数を伴う拡散作用素を扱う多角形メッシュ上に手法を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の多角形メッシュ上での変数係数を伴う2階楕円問題に対して、混合仮想有限要素法が最適収束率を達成できるか。
• RQ2 歪められたり非凸的である多角形要素（ボロノイ分割や重心ボロノイ分割を含む）において、この手法はどのように性能を示すか。
• RQ3 空間的に変化する係数において、L²射影作用素が最適収束率を維持するために果たす役割は何か。
• RQ4 離散解とそのL²射影との間にスーパー収束が生じるか。また、これにより全体の誤差挙動にどのような影響を与えるか。
• RQ5 構造的メッシュ、ランダムメッシュ、凹型メッシュといった異なるメッシュタイプが、混合VEMの収束率に与える影響は何か。

主な発見

• 理論通り、圧力に関しては$L^2$ノルムで$ k+1 $次の最適収束率を達成し、フラックスに対しても同様に$ k+1 $次が得られた。
• k=1の場合、粗いメッシュでは圧力の$L^2$誤差が$ k+2=3 $の傾きを示す。これは$ p_h $とその$L^2$射影$ p_I $の間のスーパー収束に起因し、メッシュサイズが小さくなるにつれて$ k+1=2 $の傾きに移行する。
• 非凸多角形やランダムなボロノイ分割を含む極めて歪められたメッシュに対しても、最適収束性が維持される。
• 安定化項は境界自由度にのみ依存し、内部自由度に明示的な安定化を施す必要がないため、実装が簡素化される。
• 数値結果により、Lloyd-0, Lloyd-100, 正方形, 凹型メッシュのすべてのテストメッシュタイプにおいて、一貫した収束挙動を示し、手法の頑健性が確認された。
• k=4の場合、誤差分解においてスーパー収束効果が明確に観察され、$\|p_I - p_h\|_0 \leq Ch^{k+2} = Ch^6$が成り立ち、理論的予測と一致した。