[論文レビュー] Mixing and Decoherence in Continuous-Time Quantum Walks on Cycles

Leonid Fedichkin, Dmitry Solenov+1 more|ArXiv.org|Sep 22, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、連続的モニタリングによってデコherenceを誘発するモデルを用いて、サイクルグラフ上の連続時間量子ウォークにおけるデコherenceが混合時間に与える影響を解析的に示している。非単調な関係が示された：小さなデコherence率では混合時間が線形に短縮され、最適な率で最小値に達し、その後デコherenceが強くなると混合時間が再び線形に増加し、古典的極限に近づく。

ABSTRACT

We prove analytical results showing that decoherence can be useful for mixing time in a continuous-time quantum walk on finite cycles. This complements the numerical observations by Kendon and Tregenna (Physical Review A 67 (2003), 042315) of a similar phenomenon for discrete-time quantum walks. Our analytical treatment of continuous-time quantum walks includes a continuous monitoring of all vertices that induces the decoherence process. We identify the dynamics of the probability distribution and observe how mixing times undergo the transition from quantum to classical behavior as our decoherence parameter grows from zero to infinity. Our results show that, for small rates of decoherence, the mixing time improves linearly with decoherence, whereas for large rates of decoherence, the mixing time deteriorates linearly towards the classical limit. In the middle region of decoherence rates, our numerical data confirms the existence of a unique optimal rate for which the mixing time is minimized.

研究の動機と目的

• 有限サイクル上の連続時間量子ウォークにおけるデコherenceが混合時間に与える影響を調査すること。
• ケンドンとトレゲナが行った数値的観察を拡張し、量子ウォークにおけるデコherenceの解析的フレームワークを提供すること。
• デコherence強度を増加させることに伴う混合ダイナミクスにおける量子的から古典的行動への遷移を特定すること。
• 離散時間ウォークにおける報告と類似するように、混合時間を最小化する最適なデコherence率が存在するかどうかを同定すること。

提案手法

• サイクルグラフ上の連続時間量子ウォークにデコherenceを誘発するために、連続的モニタリングのモデル（グルヴィッツモデル）を用いる。
• デコherenceパラメータΓがモニタリングの速度を制御する Lindblad マスター方程式を用いて、デコherenceプロセスをモデル化する。
• サイクルグラフのラプラシアンの固有状態分解を用いて、時間発展した確率分布の解析的表現を導出する。
• 混合時間を定量化するために、全変動距離を用い、分布を一様分布と比較する。
• 漸近的近似を用いて、低デコherenceおよび高デコherenceの両領域における混合時間の上界および下界を導出する。
• N = 5 から 35 までの数値的シミュレーションを実施し、混合時間を最小化する一意の最適デコherence率の存在を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間ウォークにおける数値的観察と同様に、サイクル上の連続時間量子ウォークでもデコherenceが混合時間を改善するか？
• RQ2 デコherenceパラメータΓの異なる強度領域において、混合時間はどのようにΓに依存するか？
• RQ3 サイクル上の連続時間量子ウォークにおいて、混合時間を最小化する一意の最適デコherence率が存在するか？
• RQ4 Γを0から∞に増加させると、系はどのように量子的から古典的混合行動へと遷移するか？
• RQ5 小デコherenceおよび大デコherence率における混合時間の解析的上限・下限は何か？

主な発見

• 小さなデコherence率（ΓN ≪ 1）では、混合時間はΓに反比例し、デコherenceが増加するにつれて線形に改善する。
• 大きなデコherence率（Γ ≫ 1）では、混合時間はΓに線形に依存し、Nの2乗に比例し、古典的混合時間に近づく。
• 大Γにおける混合時間の下界は T_lower ≈ (2ΓN²/π²) ln(2/(Nε)) であり、上界は T_upper ≈ (ΓN²/2) ln((2+ε)/ε) である。
• 数値的結果により、混合時間を最小化する一意の最適デコherence率が存在することが確認され、N = 5 から 35 の範囲で観察された。
• Γの増加に伴い、混合時間は量子的から古典的へと遷移し、ダイナミクスは共鳴的量子振動から古典的拡散へと変化する。
• 解析的結果により、ケンドン＝トレゲナ現象（小さなデコherenceが混合を改善する現象）が離散時間ウォークに限らず、連続時間モデルにも拡張可能であることが確認された。