[論文レビュー] Mixing Constant Sum and Constant Product Market Makers

Alexander Port, Neelesh Tiruviluamala|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2022

Evolutionary Algorithms and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、定和市場メイカー（CSMM）と定積市場メイカー（CPMM）を融合する、ホモトピーに基づく新規フレームワークを提案する。このフレームワークにより、両者の挙動の間を滑らかで幾何学的に意味のある遷移が可能になる。安定性パラメータ t を用いたパrameter化と非一様ホモトピーを採用することで、価格安定性、不完全損失、スリッページに対する精密な制御が可能となり、主な結果として、安定性を低くするとポートフォリオ価値が上昇し、ユーザー行動への感受性が向上することが示された。

ABSTRACT

Two popular forms of automated market makers are constant sum and constant product (CSMM and CPMM respectively). Each has its advantages and disadvantages: CSMMs have stable exchange rates but are vulnerable to arbitrage and can sometimes fail to provide liquidity, while a CPMM can have large impermanent loss due to exchange rate changes but are always able to provide liquidity to participants. A significant amount of work has been done in order to get the best of both constant sum and constant product characteristics. Perhaps most the relevant to this paper is Stableswap, which has an "amplification coefficient" parameter controlling the balance between the two types of behavior [Ego19]. Alternative approaches, such as in [AEC21], involve constructing AMMs using portfolio value functions. However, there is still much work to be done on these fronts. This paper presents multiple novel methods for mixing market makers and demonstrates new tools for designing markets with specific features.

研究の動機と目的

• 定和市場メイカー（CSMM）の価格安定性と定積市場メイカー（CPMM）のリキクイディティの回復力の両方を組み合わせた、新しい自動市場メイカー（AMM）のクラスを設計すること。
• 固定パラメータ化に依存し、融合に際して幾何学的整合性を欠く既存のハイブリッドモデル（例：Stableswap）の限界を克服すること。
• ブレンドパラメータ t が CSMM から CPMM への割合的移動を明確に幾何学的に解釈できる、数学的に厳密なホモトピー枠組みを構築すること。
• t(s) パラメータ化による非一様ブレンドを可能とし、安定性とバイアスを動的に調整することで、市場行動に合わせたカスタマイズを可能とすること。
• 安定性とバイアスがポートフォリオ価値関数および AMM のパフォーマンスに与える影響を分析すること、特に価格ショック下での挙動に注目する。

提案手法

• CSMM と CPMM の曲線の滑らかな補間を実現するため、ホモトピー構成 H(s,t) = (1-t)·f(s) + t·g(s) を提案。ここで f(s) と g(s) はそれぞれ初期状態と最終状態を表す。
• 正規化された CSMM と CPMM の表面 A₀(X) = (∑aⱼxⱼ)/∑aⱼxⱼⁱ = 1 および A₁(X) = ∏(xⱼ/xⱼⁱ)ᵃʲ = 1 を定義し、両者が初期点 Xⁱ を通るように保証する。
• s の二次関数である t(s) を用いた非一様ホモトピーを導入し、曲線全体にわたるブレンドレートの変動を可能とし、カスタム安定性およびバイアスプロファイルの実現を可能にする。
• ポートフォリオ価値関数 V(P) = P·X を用いて AMM のパフォーマンスを評価し、U(r₁,…,rₙ₋₁) = V(r₁,…,rₙ₋₁,1) を用いて異なる価格ベクトル下での価値の2次元可視化を可能にする。
• λ(s,t) パarameter化を適用し、計算中のドリフトを防止し、曲線評価における正確性を維持する。
• 安定性が低い（t が大きい）とスリッページは上昇するが、同時にポートフォリオ価値も上昇し、最小化点 X が初期位置 Xⁱ に近づくことが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定和市場メイカーと定積市場メイカーの間で、算術的または幾何的混合に起因する限界を避ける、連続的かつ幾何学的に意味のあるブレンドをどのように構築できるか？
• RQ2 t(s) を用いた非一様ブレンドが、AMM における価格安定性、不完全損失、およびポートフォリオ価値に与える影響は何か？
• RQ3 安定性パラメータ t は、スリッページやユーザー取引への感受性という観点から、現実世界の AMM 挙動とどのように関係しているか？
• RQ4 なぜ安定性の低下がポートフォリオ価値の上昇をもたらすのか、またこれにより長期的な市場メイカーのパフォーマンスにどのような影響を与えるか？
• RQ5 ホモトピー枠組みは、高次元 AMM に一般化可能か？また、市場ショック下で動的かつ適応的挙動を示す AMM の設計に応用可能か？

主な発見

• 非一様ホモトピー構成により、CSMM と CPMM 挙動の間で精密かつカスタマイズ可能なブレンドが可能となり、t(s) を用いて曲線に沿った安定性およびバイアスの動的調整が可能である。
• 安定性が低い（t が大きい）とスリッページは上昇するが、同時にポートフォリオ価値関数も上昇し、与えられた価格ベクトル下での最適 X 点が初期位置 Xⁱ に近づく。
• 幾何学的ホモトピー枠組みにより、t が常に CSMM から CPMM への正確な分数的移動を表すことが保証され、ブレンドパラメータの解釈が明確かつ一貫的である。
• ポートフォリオ価値関数は安定性が低下するにつれて上昇し、これは高いスリッページを示す AMM も特定の条件下でより多くの価値を維持できることを示唆している。
• λ(s,t) パラメータ化により、数値的ドリフトが防止され、正確な計算が可能となり、この手法は分散型取引所における本番環境での導入に適している。
• 可視化分析により、安定性が低い曲線は、勾配が価格ベクトルと一致する最小化 X 点が Xⁱ に近いため、より高い価値を持つことが確認された。