[論文レビュー] Mixing operators and small subsets of the circle

Frédéric Bayart, Étienne Matheron|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、cotype 2 のバナッハ空間上での弱混合および強混合作用素の完全な特徴付けを、ユニモジュラー固有値と単位円上の小さな部分集合（特に可算集合およびフーリエ＝スティルチェス級数のための一意性集合）を用いて行う。幾何的仮定を排除することで、従来の結果を拡張し、cotype 2 空間においては、最良の十分条件が同時に必要条件にもなることを確立する。

ABSTRACT

We provide complete characterizations, on Banach spaces with cotype 2, of those linear operators which happen to be weakly mixing or strongly mixing transformations with respect to some nondegenerate Gaussian measure. These characterizations involve two families of small subsets of the circle: the countable sets, and the so-called sets of uniqueness for Fourier-Stieltjes series. The most interesting part, i.e. the sufficient conditions for weak and strong mixing, is valid on an arbitrary (complex, separable) Fr\\'echet space.

研究の動機と目的

• 非退化で全空間を含むガウス測度に関して、線形作用素が弱混合または強混合であるための必要十分条件を同定すること。
• 作用素の特徴付けを制限していた、バナッハ空間や固有ベクトルの正則性に関する幾何的仮定を除去すること。
• ガウス混合の理論を任意の複素分離的フレシェ空間に拡張し、cotype 2 バナッハ空間の場合に完全な特徴付けを提供すること。
• ユニモジュラー固有値および円周上の小さな部分集合（特に可算集合およびフーリエ＝スティルチェス級数の一意性集合）が、混合性を決定づける役割を明確にすること。
• ガウス測度の文脈において、ハイパーシュル性、頻繁なハイパーシュル性、およびハイパーシュルベクトル集合のハール零集合性の関係を調査すること。

提案手法

• 複素確率変数 $ g_n $ が独立に標準複素ガウス分布に従う形のランダム級数 $ \xi = \sum g_n x_n $ を用いて定義されるフレシェ空間上のガウス測度の構造を利用する。
• 単位円上の固有値（$ \mathbb{T} $-固有値）を持つ固有ベクトルから構成される $ T $-不変ガウス測度を適用する。
• 級数が収束するようにノルムの減衰を制御するため、$ c_0 $-類似の固有ベクトル族の概念を導入する。
• 一様な $ \mathbb{R}u $ のようなプローブ部分空間を用いて、ハール零集合性をルベーグ測度の議論によって証明する。
• 特にフーリエ＝スティルチェス級数の一意性集合に関する調和解析の結果を活用し、混合性のためのスペクトル的条件を特徴付ける。
• バーキホフのエルゴード定理および測度論的道具を用いて、作用素 $ T $ における軌道の分布と混合性の性質を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cotype 2 のバナッハ空間上での線形作用素が、全空間を含むガウス測度に関して弱混合または強混合であるためのスペクトル的条件は何か？
• RQ2 弱混合および強混合のための十分条件を、空間や固有ベクトルの場の幾何的仮定に依存せずに最適化できるか？
• RQ3 混合作用素のハイパーシュルベクトル集合 $ HC(T) $ は一般にハール零集合であるか？ どのような条件下でそうなるか？
• RQ4 すべての $ \mathbb{T} $-固有ベクトルが稠密な空間上の作用素は、特に cotype 2 でない空間においてもガウス的意味でエルゴード的であると示せるか？
• RQ5 ユニモジュラー固有値の存在と、$ c_0(\mathbb{N}) $ や $ \ell^p(\mathbb{N}) $ 上での重み付き後退シフトの混合性の性質との関係は何か？

主な発見

• cotype 2 のバナッハ空間上では、作用素がガウス的意味で弱混合または強混合であるための必要十分条件は、ユニモジュラー固有ベクトルが稠密な部分空間を張り、関連するスペクトル集合が可算集合またはフーリエ＝スティルチェス級数の一意性集合であることである。
• 本稿で得られた弱混合および強混合の十分条件は最適であり、固有ベクトルや空間に対する追加の幾何的・正則性仮定を必要としない。
• 任意のバナッハ空間上の作用素 $ T $ に対して、ある $ u \in X $ が $ \sum_{n=0}^\infty \|T^n(u)\|^{-1} < \infty $ を満たすならば、ハイパーシュルベクトル集合 $ HC(T) $ はハール零集合である。
• 重み付き後退シフト $ B_\mathbf{w} $ が $ \ell^p(\mathbb{N}) $ や $ c_0(\mathbb{N}) $ 上に存在するとき、$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{|w_1 \cdots w_n|^{p/(p+1)}} < \infty $ ならば、$ HC(B_\mathbf{w}) $ はハール零集合である。
• $ |\lambda| > 1 $ ならば、$ X_p $ や $ X_\infty $ 上の非重み付き後退シフト $ B $ に対して $ HC(\lambda B) $ はハール零集合である。これは、強混合性が頻繁なハイパーシュル性を含まないことを示している。
• 本稿では、すべてのハイパーシュル作用素が稠密な $ \mathbb{T} $-固有ベクトルを持つ場合に、ガウス的意味でエルゴード的であるかどうか、およびそのような作用素が頻繁にハイパーシュル的であるかどうかは未解決のまま残っている。