[論文レビュー] Mixing properties and the chromatic number of Ramanujan complexes

Shai Evra, Konstantin Golubev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2014

Graph theory and applications参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非分割型ラマヌジャン複体が、高次元の木に似た局所的構造と、色分けの要件としての高次の複雑性を併せ持つことを確立している。古典的なラマヌジャングラフに関する結果を高次元へ一般化したものである。オーエィのp進リー群における定量的性質(T)とカラフルミキシング補題を用いることで、著者らは、複体のサイズに従って自己同型半径が対数的に増加すること、また、素数べき $ q $ に従って彩色数が増加することを証明した。$ q \to \infty $ のとき、彩色数は任意に大きくできる。この結果は、局所的には木に似ており、一方で色分けの要件としては非常に複雑な高次元複体の存在を裏付けたものである。

ABSTRACT

Ramanujan complexes are high dimensional simplical complexes generalizing Ramanujan graphs. A result of Oh on quantitative property (T) for Lie groups over local fields is used to deduce a Mixing Lemma for such complexes. As an application we prove that non-partite Ramanujan complexes have 'high girth' and high chromatic number, generalizing a well known result about Ramanujan graphs.

研究の動機と目的

• ラマヌジャングラフが高ジンと高彩色数を持つという古典的結果を、高次元単体複体へ拡張すること。
• ラマヌジャン複体の文脈において「ジン」と「彩色数」を、普遍被覆の自己同型半径とファセットの頂点彩色を用いて定義・分析すること。
• 合同部分群を用いた明示的族の構成により、非分割型ラマヌジャン複体が任意に大きなジンと任意に大きな彩色数を持つことを証明すること。
• スペクトル的性質から導かれるカラフルミキシング補題を用いて、このような複体の彩色数に対する定量的下界を確立すること。

提案手法

• p進リー群 $ PGL_d(F) $、$ F = \mathbb{F}_q((t)) $ におけるオーエィの定量的性質(T)を用い、ラマヌジャン複体のためのミキシング補題を導出すること。
• カラフルミキシング補題を応用し、普遍被覆における異なるタイプの頂点集合の相対的サイズと、複体の彩色数との関係を定式化すること。
• カルトウア＝スティーガー格子の合同部分群による商として、非分割型ラマヌジャン複体を構成すること。
• 自己同型半径をジンの代理として用い、半径 $ r $ の球における普遍被覆の局所的単射性に基づいて定義すること。
• $ \Gamma $ を合同部分群とする $ \Lambda/\Gamma $ からのカイリー複体構成を用い、スペクトル的・幾何的性質が制御された有限複体を獲得すること。
• 背理法により彩色数の下界を確立する：少ない色数を仮定すると、単色のファセット集合が空でないことが導かれ、ミキシング補題の不一致境界に矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非分割型ラマヌジャン複体は、ジンと彩色数の両方が高く、ラマヌジャングラフのケースを一般化できるように構成可能だろうか？
• RQ2 単体複体における「ジン」の高次元版としての正しい定義は何か？ また、自己同型半径を用いてどのように定量的に表現できるか？
• RQ3 ラマヌジャン複体の彩色数は、そのスペクトル的性質およびその普遍被覆の構造とどのように関係するか？
• RQ4 p進群における性質(T)から、高次元複体のためのミキシング補題を導出可能だろうか？ また、それが頂点彩色にどのように制約を加えるか？
• RQ5 複体のサイズが増大する際、特に $ q \to \infty $ のとき、彩色数の漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 非分割型ラマヌジャン複体の自己同型半径は、$ r(X_n) \geq \frac{\log_q |X_n|}{2(d-1)(d^2-1)} - \frac{1}{2} $ を満たし、サイズに従って対数的に増加することが示された。
• 彩色数は $ \chi(X_n) \geq \frac{1}{2} \cdot q^{1/2d} $ を満たし、$ q \to \infty $ のとき無限大に発散するため、任意に大きな彩色数をとることが可能である。
• カラフルミキシング補題は、$ d $ 個の相対的サイズが等しい頂点集合が $ d $ 分割被覆で互いに素である場合、その不一致が $ \frac{2d}{q^{1/2}} $ 以下に抑えられることを示し、これにより彩色数が制約を受ける。
• $ q \gg d $ のとき、複体の直径は $ 8d \cdot r(X_n) $ 以下であることが示され、複体が直径の定数倍まで二色で塗り分け可能であることを示唆している。
• このような複体の1次スケルトンの彩色数は $ d $ 以下に抑えられるが、全複体の彩色数は $ d $ を超えることがあるため、スケルトンと複体の彩色の間に非自明な差が存在することが示された。
• カルトウア＝スティーガー格子の合同部分群による構成により、望ましいミキシング性質と彩色性質を有する明示的族の非分割型ラマヌジャン複体が得られた。