[論文レビュー] Mock Modular Forms with Integral Fourier Coefficients

Yingkun Li, Markus Schwagenscheidt|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2021

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、重み 1/2 および 3/2 の単変量シータ関数であるシャドウを持つ、正則化されたペーター損内積を用いて、整数フーリエ係数をもつ明示的なモックモジュラー形式を構成する。主な貢献は、これらの形式を明示的な係数（24N⁴ または 144N⁴）でスケーリングすることで、整数係数が得られることを証明し、このような形式について、これまでの指数的境界よりも優れた絶対的分母境界を初めて得たことにある。

ABSTRACT

In this note, we explicitly construct mock modular forms with integral Fourier coefficients by evaluating regularized Petersson inner products involving their shadows, which are unary theta functions of weights 1/2 and 3/2 . In addition, we also improve the known bounds for the denominators of the coefficients of mock modular forms whose shadows are holomorphic weight one cusp forms constructed by Hecke.

研究の動機と目的

• 重み 1/2 および 3/2 の単変量シータ関数であるシャドウを持つ、明示的なモックモジュラー形式を、整数フーリエ係数をもつように構成すること。
• 正則的でないモジュラー形式のフーリエ係数の分母に関する既存の指数的境界を改善すること。
• 正則化されたトーラスリフトとセレの双対性を用いて、単変量シータ関数の ξ-逆像の明示的かつ計算可能な構成を提供すること。
• フーリエ係数の分母に対する絶対的境界を確立し、関連する公式における代数的値の正確な定義体を可能にすること。
• 新しい明示的公式を用いて、分母が有界であることを保証することで、ヒューリッツ類数およびラマヌジャンのモック・シータ関数に関する既知の結果を拡張すること。

提案手法

• 重み 1/2 または 3/2 の弱正則モジュラー形式と単変量シータ関数との間の正則化されたペーター損内積を計算する。
• 恒等式 ⟨g(τ), θN(τ; ν)⟩ = ⟨g(τ)η(τ)⁻⁴, θN(τ; ν)η(τ)⁴⟩ を用いて、損内積を符号型 (1,4) のシータ関数に関連付ける。
• ボルチャーツおよびブルイニエの正則化されたトーラスリフト技術を適用し、損内積をトーラスリフトの特別値として評価する。
• セレの双対性を用いてモックモジュラー形式を再構成し、正則部分が有理数係数を持つことを保証する。
• 2N または 6N が平方数である場合に、格子和と実二次体上のトレース写像を用いて明示的公式を構築する。
• アトキン＝レナー変換および実二次体の単数群を用いて、係数の算術的性質を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み 1/2 または 3/2 の単変量シータ関数であるシャドウを持つ、フーリエ係数が整数であるモックモジュラー形式を構成できるか？
• RQ2 このようなモックモジュラー形式のフーリエ係数の最小分母境界は何か？
• RQ3 従来の研究で得られた指数的分母境界を、構成的技法によって絶対的境界に改善できるか？
• RQ4 これらのモック形式の係数は、ヒューリッツ類数やラマヌジャンのモック・シータ関数といった既知の算術的対象とどのように関係するか？
• RQ5 格子が非退化である非平方判別式の場合に、この手法を適応可能か？

主な発見

• 任意の N ∈ ℕ に対して、重み 1/2 のモックモジュラー形式 eθ⁺_N(τ; 1) が存在し、そのシャドウは (1/√N)θN(τ; 1) である。24N⁴ 倍したこの形式は整数フーリエ係数を持つ。
• 同様に、重み 3/2 のモックモジュラー形式 eθ⁺_N(τ; 0) が存在し、そのシャドウは (√N / 2π)θN(τ; 0) である。144N⁴ 倍したこの形式も整数フーリエ係数を持つ。
• 分母境界 24N⁴ および 144N⁴ は絶対的であり、インデックスに依存せずに一定であり、従来の研究における指数的境界を上回る。
• 2N または 6N が平方数である場合に、格子和と実二次体上のトレース写像を用いて eθ⁺_N(τ; ν) の明示的公式が導出される。
• この構成により、ヒューリッツ類数の母関数やラマヌジャンのモック・シータ関数 f(q) および ω(q) の既知の例が、分母が有界であることを保証して回復される。
• N = 6 の場合、この手法によりラマヌジャンの f(q) が分母が有界な格子点の和として明示的公式で得られ、理論的境界が確認される。