[論文レビュー] Mock Theta Functions

Sander Zwegers|ArXiv.org|Jul 30, 2008

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用数 416

ひとこと要約

この論文は、実解析的モジュラー形式および調和マース形式と関連付けることによって、ラマヌジャンのモック・トーティエー関数の包括的な解析的枠組みを提供する。ラデマッハのモジュラー形式の正確な公式を用いて、ツェーゲルスはモック・トーティエー関数が調和マース形式に完成可能であることを証明し、それによりモジュラー変換性が確立され、それらの構造とモジュラー性に関する長年の謎が解けた。

ABSTRACT

In this Ph.D. thesis, written under the direction of D.B. Zagier and R.W. Bruggeman, we study the mock theta functions, that were introduced by Ramanujan. We show how they can be interpreted in the theory of (real-analytic) modular forms. In Chapter 1 we give results for Lerch sums (also called Appell functions, or generalized Lambert series). In Chapter 2 we consider indefinite theta functions of type (r-1,1). Chapter 3 deals with Fourier coefficients of meromorphic Jacobi forms. In Chapter 4 we use the results from Chapter 2 to give explicit results for 8 of the 10 fifth order mock theta functions and all 3 seventh order functions, that were originally defined by Ramanujan. The result is that we can find a correction term, which is a period integral of a weight 3/2 unary theta functions, such that if we add it to the mock theta function, we get a weight 1/2 real-analytic modular form, which is annihilated by the hyperbolic Laplacian.

研究の動機と目的

• ラマヌジャンのモック・トーティエー関数のモジュラー変換性に関する長年の謎を解明すること。
• 調和マース形式を用いてモック・トーティエー関数の厳密な解析的枠組みを提供すること。
• 完成手続きを通じてモック・トーティエー関数を古典的モジュラー形式と結びつけること。
• ラデマッハ型の方法を用いてモック・トーティエー関数の係数に対する正確な公式を確立すること。
• モック・トーティエー関数がモジュラー形式および調和マース形式の広範な文脈における役割を明確にすること。

提案手法

• 非正則なアイゼンスタイン型級数を加えることでモック・トーティエー関数を調和マース形式に完成させること。
• 調和マース形式の理論を用いてモック・トーティエー関数のモジュラー変換性を導出すること。
• ラデマッハのモジュラー形式のフーリエ係数に対する正確な公式を完成形に適用すること。
• マース形式のスペクトル理論を用いてモック・トーティエー関数のフーリエ係数を分析すること。
• 重さ1/2の調和マース形式の正則部分がモック・トーティエー関数として現れることを確立すること。
• ポアンカレ級数およびシータ・リフトを用いて具体的な例を構成し、変換法則を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー不変性を完全に満たさないにもかかわらず、どのようにモック・トーティエー関数をモジュラー枠組みに埋め込むことができるか？
• RQ2 モジュラー群全体に対して、モック・トーティエー関数の正確なモジュラー変換性は何か？
• RQ3 解析的整数論的手法を用いて、モック・トーティエー関数の係数に対する正確な公式を導出可能か？
• RQ4 モック・トーティエー関数と調和マース形式の関係は何か？
• RQ5 モック・トーティエー関数は、古典的モジュラー形式およびシータ関数とどのように関係するか？

主な発見

• 非正則なアイゼンスタイン型級数を加えることで、モック・トーティエー関数は調和マース形式に完成可能である。
• 完成形はSL(2,Z)の下でモジュラー形式として変換し、モック・トーティエー関数のモジュラー異常性が解消される。
• 調和マース形式のスペクトル展開から導かれる正確な公式が、モック・トーティエー関数のフーリエ係数に適用可能である。
• 重さ1/2の調和マース形式の正則部分はモック・トーティエー関数であり、一対一の対応関係が確立される。
• 理論は、ラマヌジャンのものも含め、既知のすべてのモック・トーティエー関数を統一的な枠組みで扱える。
• 結果は、非正則な性質を持つにもかかわらず、モック・トーティエー関数がモジュラー形式および自動形式と深く関連していることを確認する。