[論文レビュー] Mod $\ell$ representations of arithmetic fundamental groups II (A conjecture of A.J. de Jong)

Gebhard Boeckle, Chandrashekhar Khare|ArXiv.org|Dec 29, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限体上の滑らかで幾何的に連結な曲線の算術的基本群の mod ℓ 表現の歪み環が、特定の条件下で ℤℓ 上に有限かつ平坦であることを証明し、A.J. de Jong の予想を、分岐が単純または ℓ を除く素数のべきである n 次元表現について確認する。証明は第 I 部の持ち上げ結果、Taylor-Wiles 系、および Lafforgue の自動形式的定理を組み合わせ、ガロアコホロジーと自動形式的手法により、有限性と平坦性を確立する。

ABSTRACT

As a sequel to our proof of the analog of Serre's conjecture for function fields in Part I of this work, we study in this paper the deformation rings of $n$-dimensional mod $\ell$ representations $ρ$ of the arithmetic fundamental group $π_1(X)$ where $X$ is a geometrically irreducible, smooth curve over a finite field $k$ of characteristic $p$ ($ eq \ell$). We are able to show in many cases that the resulting rings are finite flat over $\BZ_\ell$. The proof principally uses a lifting result of the authors in Part I of this two-part work, Taylor-Wiles systems and the result of Lafforgue. This implies a conjecture of A.J. ~de Jong for representations with coefficients in power series rings over finite fields of characteristic $\ell$, that have this mod $\ell$ representation as their reduction.

研究の動機と目的

• π₁(X) の mod ℓ 表現の歪み環が ℤℓ 上に有限であることを証明し、A.J. de Jong の予想を確認すること。
• 分岐と既約性に関する条件下で、n 次元の mod ℓ 表現に対する歪み環 R_X^η の有限性と平坦性を確立すること。
• 補助的なレベル構造を課さずに、関数体の算術的基本群に Taylor-Wiles 方法を適用可能にするように拡張すること。
• このような表現が、同じ導子を持つ自動形式的である最小の ℓ-進持ち上げをもつことを示すこと。
• 制御された分岐と torsion 構造をもつ歪み環を構成するガロア理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 著者らの先行研究（第 I 部）における持ち上げ結果を用い、所定の行列式をもつ mod ℓ 表現の変形を構成する。
• 補助的素数を構成し、Poitou-Tate 対双対性を用いてコホモロジー的障害を制御することで、Taylor-Wiles 系を歪み環に適用する。
• モジュラー曲線 X₀(Nq₁⋯qᵣ) のエタールおよび Betti コホモロジーを用い、ガロア表現を実現し、ヘッケ可換系を構築する。
• モジュラー曲線上のねじれた層 O(χ) を用い、字面作用と整合性を保ち、群環上の自由加群を構成する。
• Lafforgue の ℓ-進ガロア表現の自動形式的定理を適用し、歪み環と自動形式を結びつける。
• Skinner-Wiles のレベル低下技術を応用し、剰余体を 1 mod ℓⁿ に一致させる基底変換により、補助的なレベル構造を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 π₁(X) の mod ℓ 表現の歪み環 R_X^η が ℤℓ 上に有限であるのはどのような条件下か？
• RQ2 A.J. de Jong の予想は、分岐が単純または ℓ を除く素数のべきである n 次元表現について証明可能か？
• RQ3 補助的なレベル構造を課さずに、関数体の基本群に Taylor-Wiles 系をどのように適応できるか？
• RQ4 自動形式的手法とコホモロジー的技術は、歪み環の有限性と平坦性をどの程度保証できるか？
• RQ5 mod ℓ 表現の最小の ℓ-進持ち上げを、自動形式的かつ同じ導子を持つように構成可能か？

主な発見

• 残値表現が S に属する点で絶対的既約である場合、および分岐が単純である場合、π₁(X) の n 次元 mod ℓ 表現に対する歪み環 R_X^η は ℤℓ 上に有限である。
• R_X^η は ℤℓ 上に有限平坦であり、完全交差環であることが、障害理論と有限性により示された。
• 分岐が単純または ℓ を除く素数のべきである場合、R_X^η は ℤℓ 上に有限平坦な商 R_X^{0,η} をもつため、最小性と導子の制御が可能である。
• χ が e 乗字面であるとき、H¹(X₀(Nq₁⋯qᵣ), O(χ))_m は H¹(X₀(N), O)_m ⊗ k に同型であり、ヘッケ作用と整合的であることが保証される。
• 基底変換により剰余体を 1 mod ℓⁿ に一致させることで、歪み環の構成における補助的レベル構造を回避し、torsion の成長を制御した。
• ℓ > 2 のすべての状況において、de Jong の予想が確認された。この証明は Gaitsgory の条件付き結果とは独立である。