[論文レビュー] Mod $p$ points on Shimura varieties of parahoric level (with an appendix by Rong Zhou)

Pol van Hoften|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2020

Advanced Algebra and Geometry被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、p を法とするHodge型Shimura多様体の標準的整数的モデルにおいて、p で擬分裂である群の場合、パラハオリ級構造をもつ任意の同一型類が、特殊（CM）点の還元を含むことを証明する。これは、Kisin–Madapusi-Pera–Shinの予想を確認するものである。証明は、非常に特別なパラハオリ級構造の状況にまで一般のパラハオリ級構造の問題をグローバルに還元し、局所的shtuka理論と均一化を用いて処理する。主な技術的帰結は、Rong Zhouによる付録において、非常に特別なレベルにおけるアフィンデリーニ・ルスツィジエ・多様体の連結成分が得られる。

ABSTRACT

We study the mod $p$-points of the Kisin--Pappas integral models of Shimura varieties of Hodge type with parahoric level. We show that if the group is quasi-split, then every isogeny class contains the reduction of a CM point, proving a conjecture of Kisin--Madapusi-Pera--Shin. We furthermore show that the mod $p$ isogeny classes are of the form predicted by the Langlands--Rapoport conjecture if either the Shimura variety is proper or if the group at $p$ is unramified. The main ingredient in our work is a global argument that allows us to reduce the conjecture to the case of very special parahoric level. This case is dealt with in the appendix by Rong Zhou. As a corollary to our arguments, we determine the connected components of Ekedahl--Oort strata.

研究の動機と目的

• Hodge型Shimura多様体の標準的整数的モデルにおいて、パラハオリ級構造をもつpを法とする同一型類が、特殊（CM）点の還元を含むことを証明すること。
• 追加の条件（p での正則性または非分岐性）のもとで、Langlands–Rapoport予想が、このようなShimura多様体のpを法とする同一型類の構造をどのように予測するかを検証すること。
• アフィンデリーニ・ルスツィジエ多様体とshtuka理論的手法を用いて、同一型類の均一化を確立すること。
• 非常に特別なレベルにおけるアフィンデリーニ・ルスツィジエ多様体の構造を用いて、Ekedahl–Oort層の連結成分を特定すること。

提案手法

• グローバルな議論を用いて、一般のパラハオリ級構造の状況を非常に特別なパラハオリ級構造の状況に還元する。
• pを法とする点を研究するために、局所的shtuka理論およびアフィンフラッグ多様体とアフィンデリーニ・ルスツィジエ多様体の理論を適用する。
• G(Ap_f)がX(μ, b)K(Fp)に作用するという事実と、Frobenius作用素Φによる作用を用いて、同一型類の均一化を確立する。
• 完璧な局所モデル図とカルテジアン図式の議論を用いて、pを法とする点と局所的shtukaデータを関連付ける。
• Rong Zhouの付録に依拠し、特にニュートン層への応用を含めて、非常に特別なレベルにおけるアフィンデリーニ・ルスツィジエ多様体の連結成分を解析する。
• Dieudonné理論とパラハオリ群スキームの理論を用いて、Shimura多様体上の点をG(Qp)/G(Zp)の元およびG(Ap_f)- torsor に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p で擬分裂である群をもつHodge型のパラハオリ級構造のShimura多様体において、pを法とする同一型類が、特殊（CM）点の還元を含むか。
• RQ2 Shimura多様体が正則であるか、またはp での群が非分岐である場合に、Langlands–Rapoport予想が、pを法とする同一型類の構造を的確に予測しているか。
• RQ3 これらのShimura多様体におけるEkedahl–Oort層の連結成分は何か。また、アフィンデリーニ・ルスツィジエ多様体の幾何とどのように関係するか。
• RQ4 局所的shtukaデータとFrobenius作用素Φの作用を用いて、同一型類の均一化をどのように確立できるか。
• RQ5 非常に特別なパラハオリ級構造におけるアフィンデリーニ・ルスツィジエ多様体の連結成分の正確な構造は何か。また、その構造はShimura多様体のグローバル幾何とどのように関係するか。

主な発見

• 本稿は、Kisin–Madapusi-Pera–Shinの予想1を確認する：GQp がp で擬分裂であるとき、SU(G, X)(Fp) の任意の同一型類は、特殊点の還元を含む。
• Shimura多様体が正則であるか、またはp での群が非分岐であるとき、pを法とする同一型類の構造は、Langlands–Rapoport予想（[52]の予想9.2）の予測と一致する。
• Ekedahl–Oort層の連結成分は、非常に特別なレベルにおけるアフィンデリーニ・ルスツィジエ多様体の連結成分によって決定され、Rong Zhouによる付録で確立された。
• G(Ap_f)-同変な全単射 Ix(Q)\X(μ, b)K(Fp) × G(Ap_f) → Ix を用いて、同一型類の均一化が確立される。
• 非常に特別なパラハオリ級構造の場合、写像 X(μ, b)K(Fp) → SU(G, X)(Fp) が全射であり、Frobeniusと可換であることが示され、この場合におけるCMの上への持ち上げの存在が確認される。
• 付録の主要な技術的結果は、X(μ, b)K◦ = X(μ, b)K である。つまり、非常に特別なレベルにおけるアフィンデリーニ・ルスツィジエ多様体全体に、特殊点への持ち上げが存在する。