[論文レビュー] Modal Dynamics for Non-Orthogonal Decompositions

Jay Gambetta, Howard M. Wiseman|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2003

Quantum Mechanics and Applications被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、量子力学におけるモーダルダイナミクスを、射影測定から正の線形作用素値測定（POM）へ一般化することで、非直交分解へと拡張する。特に、コherent状態射影子からなる過剰な集合を含む。調和振動子に対しては、Husimi POMを用いたモーダルダイナミクスが、大きなnの極限においても古典的ダイナミクスを再現する。非古典的数状態に対しても同様である。これは、ボーム的力学ではこのような状態に対して失敗するのと対照的である。

ABSTRACT

The modal interpretation of quantum mechanics allows one to keep the standard classical definition of realism intact. That is, things have a definite status for all time and a measurement only tells us which value it had. However, at present modal dynamics are only applicable to situations that are describe in the orthodox theory by projective measures. In this paper we extend modal dynamics to include positive operator measures (POMs). That is, for example, rather than using a complete set of orthogonal projectors, we can use an overcomplete set of nonorthogonal projectors. We derive the conditions under which Bell's stochastic modal dynamics for projectors reduce to deterministic dynamics, showing (incidentally) that Brown and Hiley's generalization of Bohmian mechanics [quant-ph/0005026, (2000)] cannot be thus derived. We then show how {em deterministic} dynamics for positive operators can also be derived under some conditions. As a simple case, we consider a Harmonic oscillator, and the overcomplete set of coherent state projectors (i.e. the Husimi POM). We show that the modal dynamics for this POM correspond to the classical dynamics, even for the nonclassical number state $ket{n}$, in the large $n$ limit. This is in contrast to the Bohmian dynamics (for the position projectors), which vanishes for energy eigenstates.

研究の動機と目的

• 射影測定を超えて、正の線形作用素値測定（POM）を含む、特に非直交分解へのモーダルダイナミクスの拡張を目的とする。
• 射影子に対する確率的モーダルダイナミクスが、どのような条件下で決定的ダイナミクスに還元されるかを調査すること。
• 特定の条件下で、正の作用素に対する決定的ダイナミクスを導出すること。
• 過剰な集合（例：coherent状態射影子）の文脈におけるモーダルダイナミクスの挙動を分析すること。
• 得られたダイナミクスをボーム的力学と比較すること、特にエネルギー固有状態の場合について

提案手法

• 射影子に限らない正の線形作用素値測定（POM）に適用可能な、確率的モーダルダイナミクス形式を一般化する。
• POM要素の構造を用いて、射影子に対する確率的ダイナミクスが決定的になる条件を導出する。
• 一般化されたダイナミクスを、過剰なcoherent状態射影子（Husimi POM）を用いた調和振動子に適用する。
• 大量子数nの極限におけるダイナミクスの漸近的挙動を分析する。
• 得られた軌道を古典的ダイナミクスおよび位置射影子に対するボーム的軌道と比較する。
• モーダル解釈の形式を用いて、非直交分解に対しても、すべての時刻で系の性質に明確な値を割り当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影子に対する確率的モーダルダイナミクスが、どのような条件下で決定的ダイナミクスに還元されるか？
• RQ2 射影子を超える正の作用素に対し、一貫した決定的ダイナミクスを導出できるか？
• RQ3 過剰で非直交なPOM（例：coherent状態のHusimi POM）に対して、モーダルダイナミクスはどのように振る舞うか？
• RQ4 調和振動子に対して、得られたダイナミクスは大n極限で古典的軌道を再現するか？
• RQ5 特にエネルギー固有状態において、ボーム的力学と比べてどのように異なるか？

主な発見

• 射影子に対する確率的モーダルダイナミクスは、特定で制限的な条件下でのみ決定的ダイナミクスに還元される。これは、ブラウンとヒリーのボーム的力学の一般化を含まない。
• POM要素に適切な制約を課すことで、正の作用素に対する決定的ダイナミクスを導出可能である。
• 調和振動子に対しては、Husimi POM（coherent状態射影子）を用いたモーダルダイナミクスが、大n極限で古典的ダイナミクスを再現する。
• 非古典的数状態|n⟩に対しても、nが増加するにつれて古典的挙動に類似した振る舞いを示す。
• ボーム的力学がエネルギー固有状態に対して非ゼロの軌道を生成できないのに対し、Husimi POMを用いたモーダルダイナミクスは、大n領域においても明確に定義され、古典的である。