[論文レビュー] Modal Translation of Substructural Logics

Takis Hartonas|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 42被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、非分配的サブストラクチャル論理（BCI、BCK、FL、NFL など）を、分類された、剰余付きのモダール論理へ一様かつ完全かつ忠実な翻訳を提示する。これにより、コンパクト性、L"owenheim-Skolem 定理、決定可能性といったモデル理論的性質の移行が可能になる。主な貢献は、共通のフレーム上でサブストラクチャル論理とモダール言語の間で双方向翻訳を可能にする体系的な埋め込みであり、証明可能性と意味論を保存する。

ABSTRACT

In an article dating back in 1992, Kosta Došen initiated a project of modal translations in substructural logics, aiming at generalizing the well-known Gödel-McKinsey-Tarski translation of intuitionistic logic into {\bf S4}. Došen's translation worked well for (variants of) {\bf BCI} and stronger systems ({\bf BCW}, {\bf BCK}), but not for systems below {\bf BCI}. Dropping structural rules results in logic systems without distribution. In this article, we show, via translation, that every substructural (indeed, every non-distributive) logic is a fragment of a corresponding sorted, residuated (multi) modal logic. At the conceptual and philosophical level, the translation provides a classical interpretation of the meaning of the logical operators of various non-distributive propositional calculi. Technically, it allows for an effortless transfer of results, such as compactness, Löwenheim-Skolem property and decidability.

研究の動機と目的

• 直感主義論理を超えて、非分配的サブストラクチャル論理へ G"odel-McKinsey-Tarski 翻訳を拡張すること。
• Dośen の以前のモダール翻訳の限界を解消すること。特に、分配が成り立たない弱いシステム（例：(N)FL）では失敗していたため。
• サブストラクチャル論理とそれに対応する分類された、剰余付きのモダール論理のクラスとの間で、完全かつ忠実な翻訳を確立すること。
• コンパクト性や L"owenheim-Skolem 定理といったモデル理論的性質を、モダール論理から元のサブストラクチャル論理へ移行可能にする。
• ラティス拡張表現に基づいて、非分配的論理的演算子を古典的意味論でモダール意味論を通じて解釈すること。

提案手法

• フレームに基づく意味論を表すために、種類 X と Y を持ち、それぞれ領域とその双対を表す二種類のソートを持つ一階論理言語を定義する。
• サブストラクチャル論理式を分類されたモダール言語へと翻訳する翻訳 ϕ● と双対翻訳 ϕ○ を構成し、論理的構造を保存する。
• 同じフレーム F 上で、サブストラクチャル論理のモデル (F, ⊩) とモダール論理のモデル (F, ⊧) の間でフレーム対応を確立する。
• 両システムの完全性定理を用いて、サブストラクチャル論理で ϕ ⊩ ψ であることは、モダール論理で ϕ● ⊧ ψ● であることと同値であり、逆に ψ○ ⊧ ϕ○ であることを証明する。
• ソート削減技術を用いて、二種類のソートを持つ一階論理を単一ソートの部分論理に翻訳し、二変数 FOL の有限モデル性を活用して決定可能性の結果を得る。
• ラティス拡張および剰余構造の表現定理を活用して、モダール同伴論理が適切に定義されており、古典的命題論理に剰余付きブール代数を拡張したものに対応することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分配が成り立たないサブストラクチャル論理（例：(N)FL を含む）に対しても、一様なモダール翻訳を構築可能か？
• RQ2 提案された翻訳が、両方向で証明可能性と妥当性を保存するか、完全かつ忠実か？
• RQ3 コンパクト性や L"owenheim-Skolem 定理といったモデル理論的性質が、モダール同伴論理から元のサブストラクチャル論理へ移行可能か？
• RQ4 非分配的論理的演算子の意味論を、モダール的手段を通じて古典的に解釈可能か？
• RQ5 このアプローチは、完全な Lambek-Grishin 系やその他の非分配的論理へ、どの程度拡張可能か？

主な発見

• モダール翻訳は完全かつ忠実である：サブストラクチャル論理で ϕ ⊢ ψ であることは、分類されたモダール論理で ϕ● ⊢ ψ● であることと同値である。
• すべてのサブストラクチャル論理でコンパクト性が成り立つ。これは、分類された一階論理のコンパクト性に由来する。
• 上向きおよび下向きの L"owenheim-Skolem 定理が保存される：サブストラクチャル文の集合が可算または無限モデルを持つならば、任意の非可算または可算濃度のモデルも存在する。
• サブストラクチャル論理の充足可能性問題は、二変数一階論理の有限モデル性に由来し、非決定的指数時間で決定可能である。
• Gr"adel, Kolaitis, Vardi の結果を用いて、モデルサイズを単一指数関数的サイズに改善し、効率的な決定性チェックを支援する。
• この方法は、フル・ラムベック＝グリシン計算や、ラティス拡張表現に基づく任意の非分配的論理へ拡張可能である。