[論文レビュー] Model checking Branching-Time Properties of Multi-Pushdown Systems is Hard

Mohamed Faouzi Atig, Ahmed Bouajjani+2 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2012

Formal Methods in Verification参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、制限付きコンテキストスイッチング下で、分岐時間時相論理（特にEFおよびEX演算子のみを含むCTLの断片）に対する多ポップダウンシステム（MPDS）のモデルチェックが、本質的に非要素的であることを示している。著者らは、空間制限付きチューリングマシンをMPDSに還元することで、非要素的下界を確立し、制限付き断片に対しても、問題の複雑さを回避できないことを示している。

ABSTRACT

We address the model checking problem for shared memory concurrent programs modeled as multi-pushdown systems. We consider here boolean programs with a finite number of threads and recursive procedures. It is well-known that the model checking problem is undecidable for this class of programs. In this paper, we investigate the decidability and the complexity of this problem under the assumption of bounded context-switching defined by Qadeer and Rehof, and of phase-boundedness proposed by La Torre et al. On the model checking of such systems against temporal logics and in particular branching time logics such as the modal $μ$-calculus or CTL has received little attention. It is known that parity games, which are closely related to the modal $μ$-calculus, are decidable for the class of bounded-phase systems (and hence for bounded-context switching as well), but with non-elementary complexity (Seth). A natural question is whether this high complexity is inevitable and what are the ways to get around it. This paper addresses these questions and unfortunately, and somewhat surprisingly, it shows that branching model checking for MPDSs is inherently an hard problem with no easy solution. We show that parity games on MPDS under phase-bounding restriction is non-elementary. Our main result shows that model checking a $k$ context bounded MPDS against a simple fragment of CTL, consisting of formulas that whose temporal operators come from the set ${\EF, \EX}$, has a non-elementary lower bound.

研究の動機と目的

• 分岐時間論理（例：CTL）に対する多ポップダウンシステム（MPDS）のモデルチェックの決定可能性と複雑さを調査すること。
• 制限付きフェーズMPDS上のパリティゲームの高複雑さが避けられないかどうかを特定すること。
• 制限付きコンテキストスイッチング下でのMPDSのモデルチェックに対して非要素的下界を確立すること。
• EFおよびEXのみを含むような単純化されたCTL断片であっても、依然として高複雑さを示すかどうかを分析すること。
• 並列再帰プログラム検証において、制限付き時相論理断片ですら本質的に難しい問題を引き起こすことを示すこと。

提案手法

• 空間Tow(k)で動作する空間制限付き非決定的チューリングマシン（Turing machine）を、コンテキストスイッチが制限された多ポップダウンシステム（MPDS）に還元する。
• TMの計算を、スタックに状態を符号化し、サブルーチンを用いて遷移を検証することでシミュレートするMPDSを構築する。
• k状態の検証、状態の到達可能性の確認、および後続状態の検証に、スタック操作を用いた特別なサブルーチンを採用する。
• 入力語の受理を表すために、EFおよびEX演算子のみを含むCTL式を用いる。
• EU演算子を除去する変換を適用し、EFおよびEXに限定された断片に対しても非要素的下界が成立することを示す。
• スタック構成を用いて大きな空間境界をシミュレートするため、ストックマイヤーの研究にインspiredされたカウンターベースの符号化技術を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限付きコンテキストスイッチング下で、分岐時間論理（例：CTL）に対するMPDSのモデルチェックは決定可能か？
• RQ2 制限付きフェーズMPDS上のパリティゲームの非要素的複雑さは、制限付きCTL断片に対しても継続するか？
• RQ3 EFおよびEXのような単純化された時相演算子に制限することで、モデルチェックの高複雑さを回避できるか？
• RQ4 MPDSのモデルチェックに対する非要素的下界は本質的であるか、構造的制限によって回避可能か？
• RQ5 空間制限付きチューリングマシンを、コンテキストスイッチが制限されたMPDSに符号化し、複雑さの下界を確立できるか？

主な発見

• EFおよびEX演算子のみを含むCTL断片に対するkコンテキストバウンデッドMPDSのモデルチェックには、非要素的下界が存在する。
• この構成では追加の状態数が定数で抑えられ、最大コンテキストスイッチ数が4 + 2kに制限されている。
• CTL式のサイズはO(2k + |ΣM|6)であり、これはkに関して指数的であるため、大きな空間境界を符号化する複雑さを反映している。
• 還元により、EFおよびEXのみを含むCTLの断片でも、空間制限付きTMの複雑さを十分に表現できることを示している。
• EU演算子を除去した後でも結果が成り立つため、下界が構文的単純化に対して堅牢であることが確認された。
• この証明技法は、CachatとWalukiewiczの高次元ポップダウンシステムに関する研究のアイデアを拡張し、スタックベースのカウンタを用いてTMの状態を符号化することで成り立っている。