[論文レビュー] Model Counting of Query Expressions: Limitations of Propositional Methods

Paul Beame, Jerry Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2013

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、確率的データベースクエリ評価におけるラフトインファレンスと命題的モデルカウンティングの間で、初めて形式的な分離を確立した。これは、特定のクエリが拡張的クエリ評価を用いて多項式時間で評価可能である一方で、その線形性（lineage）の決定的DNNF表現が指数的サイズとなるため、最先端の命題的モデルカウンタは指数的時間が必要となることを示している。

ABSTRACT

Query evaluation in tuple-independent probabilistic databases is the problem of computing the probability of an answer to a query given independent probabilities of the individual tuples in a database instance. There are two main approaches to this problem: (1) in `grounded inference' one first obtains the lineage for the query and database instance as a Boolean formula, then performs weighted model counting on the lineage (i.e., computes the probability of the lineage given probabilities of its independent Boolean variables); (2) in methods known as `lifted inference' or `extensional query evaluation', one exploits the high-level structure of the query as a first-order formula. Although it is widely believed that lifted inference is strictly more powerful than grounded inference on the lineage alone, no formal separation has previously been shown for query evaluation. In this paper we show such a formal separation for the first time. We exhibit a class of queries for which model counting can be done in polynomial time using extensional query evaluation, whereas the algorithms used in state-of-the-art exact model counters on their lineages provably require exponential time. Our lower bounds on the running times of these exact model counters follow from new exponential size lower bounds on the kinds of d-DNNF representations of the lineages that these model counters (either explicitly or implicitly) produce. Though some of these queries have been studied before, no non-trivial lower bounds on the sizes of these representations for these queries were previously known.

研究の動機と目的

• 確率的データベースにおけるクエリ評価に関して、ラフトインファレンス（拡張的クエリ評価）が、グラウンドドインファレンス（命題的モデルカウンティング）よりも厳密に強力であることを形式的に示すこと。
• 拡張的クエリ評価では効率的（多項式時間）に処理可能だが、命題的手法では非効率的（NP困難）となるクエリのクラスを同定すること。
• これらのクエリの線形性に対して、最先端の命題的モデルカウンタが生成する決定的DNNF表現のサイズに指数的下界を確立すること。
• DLDD（決定論理的意思決定図）を、決定的DNNFの一般化として導入し、効率的なモデルカウンティングを保ちつつ、よりコンパクトな表現を可能にすること。
• 既知の二分岐理論（例：#P困難対多項式時間）を決定的DNNFに基づくアルゴリズムに拡張することはできないことの挑戦を提示し、決定的DNNFベースのアルゴリズムに特化した新たな二分岐理論フレームワークの必要性を示唆すること。

提案手法

• 包含・除算法を用いたクエリ式の高レベルな構造に適した、第一階論理クエリのクラスを構築し、多項式時間での評価が可能であることを示す。
• これらのクエリをブール線形性に変換し、命題的モデルカウンタが要求する決定的DNNF表現のサイズを分析する。
• クエリの構造的解析と変数の依存関係を用いて、これらの線形性の決定的DNNF表現のサイズに指数的下界を証明する。
• 決定的DNNFを拡張しつつ効率的なモデルカウンティングを保つ一般化されたデータ構造として、DLDD（決定論理的意思決定図）を導入する。
• クエリツリーからDLDDを構築するプロセスが、正しく正確に元の線形性のブール関数を計算することを保証し、決定的DNNF表現で見られる指数的ブロードニングを回避することを示す。
• XORおよびEQUIV演算をシミュレートするために、クエリツリーからFBDD（自由バイナリ意思決定図）への変換を用い、結果のDAGが非循環的かつ正しく保たれることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的クエリ評価において、ラフトインファレンスと命題的モデルカウンティングの間で、形式的な分離を確立できるか？
• RQ2 拡張的クエリ評価では多項式時間で実行可能だが、命題的モデルカウンティングでは指数的時間が必要となるクエリは存在するか？
• RQ3 クエリ線形性の表現サイズの観点から、命題的モデルカウンティングアルゴリズムに内在する制限は何か？
• RQ4 クエリが効率的（tractable）であっても、その線形性の決定的DNNF表現が、元のクエリ構造よりも指数的に大きくなることはあり得るか？
• RQ5 既存の#P困難性分類とは異なる、決定的DNNFベースのモデルカウンティングに特化した新たな二分岐理論フレームワークの必要性は存在するか？

主な発見

• 本稿は、特定のクエリクラスに対して、包含・除算法を用いた拡張的クエリ評価により、多項式時間でモデルカウンティングが可能であることを証明している。
• 最先端の命題的モデルカウンタは、これらのクエリに対して指数的時間が必要である。これは、指数的サイズの決定的DNNF表現を生成するためである。
• これらのクエリの線形性に対して、決定的DNNF表現のサイズに指数的下界が確立されている。これは、クエリ自体が効率的であるにもかかわらず成立する。
• クエリツリーからDLDDを構築すると、元の線形性のブール関数と同一の関数を正しく計算する、準多項式サイズのDAGが得られる。
• クエリツリーからFBDDへの変換は、非循環性と変数順序制約を保ち、正しさを保証し、循環の発生を回避する。
• これらの結果は、ラフトインファレンスでは効率的であるにもかかわらず、決定的DNNFに基づくモデルカウンティングアルゴリズムでは、このクエリクラスを効率的に処理できないことを示唆している。