[論文レビュー] Model Diagnostics Based on Cumulative Residuals: The R-package gof

Klaus K. Holst|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2015

Advanced Statistical Methods and Models被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、一般化線形モデル（GLMs）、構造方程式モデル（SEMs）、コックス比例ハザードモデルに対して、累積残差を用いた客観的でシミュレーションベースの診断手法を提供するRパッケージgofを紹介する。漸近的理論とリサンプリングを活用して線形性および比例ハザード仮定を評価することで、主観的な残差プロットとは対照的に統計的に厳密な代替手法を提供し、実データセットにおけるモデル不適合の検出に有効であることが示された。

ABSTRACT

The generalized linear model is widely used in all areas of applied statistics and while correct asymptotic inference can be achieved under misspecification of the distributional assumptions, a correctly specified mean structure is crucial to obtain interpretable results. Usually the linearity and functional form of predictors are checked by inspecting various scatter plots of the residuals, however, the subjective task of judging these can be challenging. In this paper we present an implementation of model diagnostics for the generalized linear model as well as structural equation models, based on aggregates of the residuals where the asymptotic behavior under the null is imitated by simulations. A procedure for checking the proportional hazard assumption in the Cox regression is also implemented.

研究の動機と目的

• 一般化線形モデル（GLMs）や構造方程式モデル（SEMs）のような広く使われている回帰モデルにおけるモデル仮定の診断に、客観的で統計的なツールが不足しているという問題に対処すること。
• GLMsの平均構造における線形性および関数形仮定を検証する形式的でシミュレーションベースの手法を提供すること。
• 累積残差法を構造方程式モデルおよびコックス回帰に拡張し、比例ハザード仮定の評価を可能とすること。
• 既存の主観的な残差プロット技術と補完する、再現可能でRベースのモデル診断ソリューションを提供すること。
• 予測子の関数形および比例ハザード仮定の不適合を検出し、是正できるようにすることで、モデルの妥当性を向上させること。

提案手法

• モデルの適合度を評価するために、共変数または予測値ごとの残差の累積和を用いる。定義は $ W_j(x) = n^{-1/2} \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{x_{ji} \leq x\}} e_i $ である。
• これらの累積プロセスの漸近的帰無分布は、テイラー展開とフィッシャー情報量を用いて推定不確実性を組み込みながら、シミュレーションによって近似される。
• 検定統計量は、絶対値の累積残差プロセスの上界（supremum）に基づく：$ \mathfrak{T}_{\infty}^{(j)} = \sup_x |W_j(x)| $。これはコルモゴロフ・スミルノフ検定に類似している。
• GLMsおよびSEMsでは、`cumres`関数を用いて累積残差を計算・プロットし、予測値または共変数の順序で並べ替える。
• Coxモデルでは、時間を順序変数として用い、スコアプロセスを累積残差として用い、比例ハザード仮定を検証する。
• パラメトリックブートストラップを用いて、i.i.d. 標準正規乱数を生成し、検定統計量の帰無分布をシミュレーションする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 累積残差は、一般化線形モデルにおける予測子の関数形の不適合を、客観的でシミュレーションベースの方法で検出可能か？
• RQ2 潜在変数を含む構造方程式モデルにおける線形性を評価するために、累積残差プロセスをどのように適合できるか？
• RQ3 累積残差は、コックス回帰モデルにおける比例ハザード仮定の違反をどの程度検出できるか？
• RQ4 gofパッケージは、モデル診断における主観的な残差プロットの代替として、信頼性があり再現可能な代替手段を提供できるか？
• RQ5 正しいモデル仕様のもとでは累積残差プロセスはどのように振る舞い、不適合がある場合にはどのように異なるか？

主な発見

• gofパッケージは、シミュレーションされたSEMsにおけるモデル不適合を効果的に検出できた。具体的には、$ Y_2 $ の測定モデルに二次関係が存在し、$ X $ が $ \eta $ に非線形効果を及ぼす場合も、累積残差プロットで明確に可視化された。
• メイオクリニックPBCデータセットにおいて、`protime`（血液凝固時間）および`edema`変数に対して、比例ハザード仮定の重大な違反が同定された。これは時間依存効果を示唆していた。
• `protime`の累積残差プロセスは、時間経過とともに明確な傾向を示し、非比例ハザードを示唆しており、gof検定からのシミュレーションベースのp値によって裏付けられた。
• この手法は、GLMsおよびSEMsの両方において非線形性および誤った関数形の不適合を検出する上で優れた性能を示し、原始的な残差の可視化による検査を上回った。
• シミュレーションベースのアプローチは、真のパラメータ値が推定されている場合でも、検定統計量の帰無分布を正確に近似でき、有効な推論を可能にした。
• ユーザーがカスタム残差および順序変数を定義できる柔軟なインターフェースを提供しており、多様なモデリング文脈への応用性を高めている。