[論文レビュー] Model-free bounds on Value-at-Risk using partial dependence information

Thibaut Lux, Antonis Papapantoleon|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 36被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、極値データ、部分的コプシアン知識、または基準コプシアンからの近接性といった部分的依存情報——標準的フレチェット＝フーディング境界を強化し、最適化技術を適用することで、周辺分布が既知の確率的ベクトルに対して、モデルフリーなバリューオブリスク（VaR）の境界を導出する。主な貢献は、依存構造に関する情報が利用可能である場合、周辺分布のみに依存する手法に比べて著しくタイトなVaR境界を得られることである。

ABSTRACT

We derive bounds on the distribution function, therefore also on the Value-at-Risk, of $\varphi(\mathbf X)$ where $\varphi$ is an aggregation function and $\mathbf X = (X_1,\dots,X_d)$ is a random vector with known marginal distributions and partially known dependence structure. More specifically, we analyze three types of available information on the dependence structure: First, we consider the case where extreme value information, such as the distributions of partial minima and maxima of $\mathbf X$, is available. In order to include this information in the computation of Value-at-Risk bounds, we establish a reduction principle that relates this problem to an optimization problem over a standard Fr\'echet class, which can then be solved by means of the well-known standard bounds or the rearrangement algorithm. Second, we assume that the copula of $\mathbf X$ is known on a subset of its domain, and finally we consider the case where the copula of $\mathbf X$ lies in the vicinity of a reference copula as measured by a statistical distance. In order to derive Value-at-Risk bounds in the latter situations, we first improve the \FH bounds on copulas so as to include this additional information on the dependence structure. Then, we translate the improved \FH bounds to bounds on the Value-at-Risk using the so-called improved standard bounds. In numerical examples we illustrate that the additional information typically leads to a considerable improvement of the bounds compared to the marginals-only case.

研究の動機と目的

• 周辺分布が既知であるが、依存構造に関する情報が部分的である場合に、よりタイトなモデルフリーなバリューオブリスク（VaR）の境界を導出すること。
• 部分的な最小値および最大値の分布といった極値情報を取り入れ、VaR境界の計算を改善すること。
• 標準的フレチェット＝フーディング境界を、ドメインの一部における部分的コプシアン知識や基準コプシアンからの統計的距離を組み込むことで拡張すること。
• 周辺分布を超えた構造的依存構造を活用することで、リスク管理におけるVaR推定の精度を向上させること。
• 数値的に、部分的依存情報が周辺分布のみに依存する境界に比べて顕著な改善をもたらすことを示すこと。

提案手法

• 極値情報が与えられた場合のVaR境界計算問題を、標準的フレチェットクラス上の最適化問題に還元する還元原理を確立する。
• ドメインの一部における部分的コプシアン知識を組み込むことで、標準的フレチェット＝フーディング境界を改善する。
• 改善されたコプシアン境界を、改善された標準境界法を用いてよりタイトなVaR境界に変換する。
• 統計的距離を用いて真のコプシアンと基準コプシアンとの近接度を定量化し、これを境界導出フレームワークに統合する。
• 得られたフレチェットクラス上の最適化問題を解くために、再配置アルゴリズムを適用する。
• 実際の依存構造を用いた数値例を通じて、本手法の有効性を検証し、部分的依存情報の有無にかかわらずの境界を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的依存情報（例えば、極値の分布）が利用可能である場合、どのようにしてVaR境界をタイトにできるか？
• RQ2 ドメインの一部における部分的コプシアン知識は、完全なコプシアンの無知状態に比べて、VaR境界にどのような改善をもたらすか？
• RQ3 統計的距離で測定した真のコプシアンと基準コプシアンとの近接度は、VaR境界の精度をどのように向上させるか？
• RQ4 周辺分布を超えた依存構造を組み込むことで、VaR境界の鋭さ（シャープネス）にどのような影響を与えるか？
• RQ5 標準的フレチェット＝フーディング境界は、構造的依存情報を取り入れるための体系的な方法で改善可能か？

主な発見

• 部分的な最小値および最大値の分布といった極値情報の組み込みにより、周辺分布のみに依存する場合に比べて、著しくタイトなVaR境界が得られる。
• ドメインの一部における部分的コプシアン知識は、完全なコプシアンが不明であっても、VaR境界の鋭さに意味的な改善をもたらす。
• 真のコプシアンが統計的距離で基準コプシアンに近い場合、モデルフリーな周辺分布のみのケースに比べて、VaR境界は著しくタイトになる。
• 本手法は、改善された境界定式化を通じて構造的依存情報を組み込むことにより、標準的フレチェット＝フーディング境界を一貫して上回る。
• 数値例により、追加の依存構造情報がVaR境界の幅を縮小し、リスク評価の精度が向上することを確認した。
• 還元原理により、再配置アルゴリズムのような既存のツールを、部分的依存制約下での複雑な最適化問題の解法に活用できるようになった。