[論文レビュー] Model-Independent Pricing of Asian Options via Optimal Martingale Transport

Florian Stebegg|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、最適マルティングル・トランスポート理論を用いて、アジア・オプション価格のモデルに依存しない境界を導出する。離散的および連続時間のアジア・オプション（1つまたは2つのマージナルを有する）に対する極値価格モデルの幾何的特徴付けを提供し、|x + y| などのコスト関数に対する最適輸送問題に帰着させる。これにより、基礎資産の特定の確率的モデルを仮定せずに、ロバストな価格範囲を確立する。

ABSTRACT

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Berechnung von optimalen modellunabhängigen (robusten) Grenzen für den Preis einer Asiatischen Option mit diskreter beziehungsweise stetiger Durchschnittsbildung. Es werden geometrische Charakterisierungen der maximierenden und minimierenden Modelle zur Bepreisung von verschiedenen Typen von Asiatischen Optionen auf Prozessen in diskreter und stetiger Zeit hergeleitet. In diskreter Zeit wird das Problem auf die Lösung des Problems des optimalen Martingaltransports für die Kostenfunktion $|x+y|$ zurückgeführt. Im zeitstetigen Fall betrachten wir die Fälle mit einem bzw. zwei vorgegebenen Randverteilungen. Wir beschreiben die Pfadformen des maximierenden Modells für beide dieser Fälle, als auch die Pfadform des minimierenden Modells für den Fall mit einer gegebenen Randverteilung. Der Maximierer für das Problem mit zwei Randverteilungen wird auf das zeitdiskrete Problem zurückgeführt.

研究の動機と目的

• モデルリスクを是正するため、ロバストでモデルに依存しない価格境界を導出すること。
• 与えられたマージナル分布の下で、最高および最低の可能なオプション価格をもたらす極値マルティングル・測度を特徴付けること。
• 離散時間から連続時間の設定へと、パスに依存するオプション向けに最適輸送技法を拡張すること。
• 1つまたは2つの固定マージナルを有するアジア・オプションの文脈において、最適輸送計画の幾何的解を得ること。
• 近似および極限の議論を通じて、連続時間問題を離散時間の類似物と関連付けること。

提案手法

• 連続パス上で定式化されたモデルに依存しない価格設定問題を、マルティングル・最適輸送問題として定式化する。
• 離散時間問題を、コスト関数 |x + y| に対する最適マルティングル・カップリングを見つける問題に還元する。
• スコロホド埋め込みと最適輸送の双対性を用いて、極値測度を特徴付ける。
• ガリソン、ヘンリー＝ラボルデア、トゥジのマルティングル・最適輸送に関する結果を、特異オプションに応用する。
• 連続時間における自己財務的戦略を定義するために、パスワイズ確率積分とライプニッツ＝スタイリージェス積分を用いる。
• 資産価格と輸送計画の相対的順序に関する場合分けを用いて、最適性の必要十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散平均化を伴うアジア・オプションのモデルに依存しない上界および下界は何か？
• RQ2 離散時間におけるアジア・オプションについて、極値マルティングル・測度は幾何的にどのように特徴付けられるか？
• RQ3 1つまたは2つの与えられたマージナルを有する連続時間における最適輸送計画の構造は何か？
• RQ4 離散時間の結果は、連続平均化を伴うアジア・オプションの連続時間ケースとどのように関係するか？
• RQ5 コスト関数 |x + y| を用いた輸送理論により、最適価格モデルを明示的に記述できるか？

主な発見

• 2つの平均化点を有する離散時間アジア・オプションにおける最適マルティングル・輸送計画は、マルティングル制約の下で |x + y| の期待値を最小化または最大化することに対応する。
• 1つのマージナルを有する連続時間の場合、最大化モデルは、マルティングル性を保ちつつ平均ペイオフを極値化する特定のカップリングによって特徴付けられる。
• 2つのマージナルを有する連続時間の場合、極値モデルは、2つのマージナルを有する離散時間問題への極限的議論を通じて関連づけられる。
• 1マージナルの場合の最小化モデルは、最適輸送双対性および連関分布における幾何的制約を用いて明示的に特徴付けられる。
• 本稿は、最適輸送計画が、基礎資産価格の相対的順序および平均からの逸脱の符号によって一意に決定されることを証明する。
• 価格水準と輸送重みに関する特定の不等式を満たす場合に最適性が成立することを示す、極値輸送計画（BTP）の完全な分類が、場合分けを用いて提供される。