[論文レビュー] Model order reduction of hyperbolic systems at the example of district heating networks

Markus Rein, Jan Möhring+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、パラメトリック線形時変動（LTV）定式化と周波数領域グリーディガレルキン射影を活用することで、街区暖房ネットワークにおける双曲型微分代数方程式（DAE）の安定的かつ計算効率の良い低次元モデル（ROM）を提示する。この手法は、グローバルエネルギー行列を用いてリャプノフ安定性を保証し、フルオーダーモデルと比較して最大10倍の高速化を達成しながら、最適制御に関連する誤差範囲内で高い精度を維持する。

ABSTRACT

In this article a framework for the generation of a computationally fast surrogate model for district heating networks is presented. An appropriate model results in an index-1 hyperbolic, differential algebraic equation quadratic in state, exhibiting several hundred of outputs to be approximated. We show the existence of a global energy matrix which fulfills the Lyapunov inequality ensuring stability of the reduced model. By considering algebraic variables as parameters to the dynamical transport, the reduction of a linear, time varying (LTV) problem results. We present a scheme to efficiently combine linear reductions to a global surrogate model using a greedy strategy in the frequency domain. The numerical effectiveness of the scheme is demonstrated at different, existing, large scale networks.

研究の動機と目的

• 高次元出力を有する大規模街区暖房ネットワークを支配する双曲型DAEに対して、安定的で高速なスレーブモデルを開発すること。
• 低次元化における特徴的な問題である、特異値の緩やかな減少と非線形性を有する双曲型系のモデル次元削減（MOR）に取り組むこと。
• リャプノフ不等式を満たすグローバルに構築されたエネルギー行列を通じて、低次元モデルの安定性とパassing性を維持すること。
• ネットワークのサブ構造に対する線形低次元化を組み合わせることで、モデル予測制御に適したオンラインシミュレーションを効率的に行えるようにすること。
• ループ構造やフラックス逆転を含む複雑な動的特性を示す実世界のネットワークにおいて、有効性を実証すること。

提案手法

• 街内暖房ネットワークを、接合部におけるエネルギー保存則を表す代数的制約を有するインデックス1の双曲型DAEとして定式化する。
• 時間変動する流量速度をパrameterとして扱い、各パイプラインごとにパラメトリック線形時変動（LTV）系に変換する。
• リャプノフ不等式を満たすグローバルエネルギー行列 Q を構築し、低次元モデルの安定性を保証する。
• 周波数領域におけるグリーディアルゴリズムを用いて入力信号をサンプリングし、最適な低次元基底を生成する。
• 周波数領域のスナップショットを用いたガレルキン射影により、各サブネットワークに対して安定的で低次元のROMを構築する。
• フラックス逆転を伴う複雑なネットワークをサブネットワークに分解し、流量方向が一定の部分のみを低次元化し、フラックス逆転部はフルオーダーで扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模な街区暖房ネットワークに生じる双曲型DAEに対して、安定的で低次元のスレーブモデルを構築可能か？
• RQ2 非線形性と高次元性が存在する中で、低次元モデルのリャプノフ安定性をどのように保証できるか？
• RQ3 グローバルに構築されたエネルギー行列を体系的に導出することで、ネットワーク全体にわたる安定性を保証できるか？
• RQ4 周波数領域グリーディサンプリング戦略は、最小限の低次元数で動的特性を的確に捉えるのにどの程度有効か？
• RQ5 ループ構造やフラックス逆転を含む複雑なトポロジーを持つ実世界ネットワークにおいて、本手法はどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 提案手法は、フルオーダーモデルと比較してシミュレーション実行時間を最大10倍高速化し、最適制御に関連する誤差範囲内で高い精度を維持する。
• グローバルエネルギー行列 Q はリャプノフ不等式を満たしており、すべてのネットワーク構成において低次元モデルの漸近的安定性を保証する。
• 32消費者のストリートネットワークにおいて、入力が訓練内・訓練外の両方であっても、低次元モデルは高い精度を達成しており、実行時間はセル数の平方根に比例する。
• 6つのループとフラックス逆転を有する大規模な333消費者の都市地区ネットワークにおいて、フラックス逆転部分を分離し、残りの部分のみを低次元化することで、複雑な動的特性を的確に再現できた。
• 空間的分解能が向上するにつれてスピードアップが増加する傾向を示しており、特に剛性が高く同期化する状態において、低次元モデルがより高い効率性を発揮することがわかった。
• グリーディ周波数領域サンプリング戦略により、流量方向が変化する非線形系に対しても安定的かつ高精度なROMが得られ、本手法はこの文脈において従来のMOR技術を上回る性能を示した。